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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21438 5a683a6cfab5d700076769c9 高中 解答题 高中习题 已知 $p$ 与 $p+2$ 均为素数，$p>3$，正整数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=2$，$a_n=a_{n-1}+\Big\lceil\dfrac{pa_{n-1}}{n}\Big\rceil$，其中 $\lceil x\rceil$ 代表不小于 $x$ 的最小整数．求证：$n\mid (pa_{n-1}+1)$ 对满足 $2<n<p$ 的正整数 $n$ 都成立． 2022-04-17 20:01:09
21437 5a68442ffab5d70007676a3c 高中 解答题 高中习题 已知 $n,k$ 都是正整数，求不定方程 $x_1+x_2+\cdots+x_k=n$ 的非负整数解 $(x_1,x_2,\cdots,x_k)$ 的组数． 2022-04-17 20:00:09
21436 5a6844bafab5d70008dc25e1 高中 解答题 高中习题 实数集 $A=\{a_1,\cdots,a_{100}\}$，$B=\{b_1,\cdots,b_{50}\}$，求满足下述要求的映射 $f:A\to B$ 的个数，其中 $f$ 为满射且 $f(a_1)\leqslant \cdots\leqslant f(a_{100})$． 2022-04-17 20:59:08
21435 5a68453dfab5d70007676a48 高中 解答题 高中习题 $n$ 名学生参加了一场考试，考场中恰有 $n$ 个考位，主管教师由于疏忽遗失了已经排好的座位表，只能让大家随意入座，试求满足下述要求的入座方法个数：每个学生的位置都与座位表上他的位置不同． 2022-04-17 20:59:08
21434 5a6845b6fab5d70007676a50 高中 解答题 高中习题 设 $\varphi$ 是 $X\mapsto X$ 的一个一一映射，其中 $X=\{1,2,\cdots,n\}$，无不动点的 $\varphi$ 有 $f_n$ 个，恰有一个不动点的 $\varphi$ 有 $g_n$ 个，求证：$|f_n-g_n|=1$． 2022-04-17 20:58:08
21433 5a684613fab5d70008dc25e9 高中 解答题 高中习题 设凸 $n$ 边形 $P$ 的任意三条对角线不在 $P$ 内部共点，求这些对角线在 $P$ 内部交点数． 2022-04-17 20:57:08
21432 5a683ac9fab5d70008dc2595 高中 解答题 高中习题 $a\neq b$，$n>0$，满足 $n\mid (a^n-b^n)$，求证：$n\mid\dfrac{a^n-b^n}{a-b}$． 2022-04-17 20:57:08
21431 5a683b77fab5d70008dc259d 高中 解答题 高中习题 $p$ 为素数，$m\geqslant 1$，若 $a^m\equiv 1\pmod{p}$，$a^{p-1}\equiv 1\pmod{p^2}$，求证：$a^m\equiv 1 \pmod{p^2}$． 2022-04-17 20:56:08
21430 5a683c9efab5d700076769d6 高中 解答题 高中习题 正整数数列 $\{x_k\}$ 满足 $x_1=x_2$，$x_{n+2}=x_{n+1}+x_n$，$n\geqslant 1$，求证：对任意正整数 $m$，前 $m^2$ 个项中存在一项被 $m$ 整除． 2022-04-17 20:55:08
21429 5a683d22fab5d700076769de 高中 解答题 高中习题 对正整数 $n$，考察使 $n\mid \displaystyle \sum_{k=1}^m k$ 的最小正整数 $m$，记为 $f(n)$，求证：$f(n)=2n-1$，当且仅当 $n=2^t$（$t\in\mathbb N$）． 2022-04-17 20:54:08
21428 5a684661fab5d70007676a5a 高中 解答题 高中习题 圆周上有 $n$ 个点，每两个点连一条线段，这些线段中任意三条在圆内部不共点，试求由这些线段围出的三角形个数． 2022-04-17 20:54:08
21427 5a683950fab5d700076769b1 高中 解答题 高中习题 已知 $a$ 是不小于 $2$ 的正整数，$m,n$ 是正整数，求证：$(a^m-1,a^n-1)=a^{(m,n)}-1$． 2022-04-17 20:53:08
21426 5a68399bfab5d700076769b9 高中 解答题 高中习题 正整数 $a,b,c,d$ 满足 $ab=cd$，求证：$a+b+c+d$ 不是素数． 2022-04-17 20:52:08
21425 5a6839d0fab5d70008dc2581 高中 解答题 高中习题 在相邻两个完全平方数之间任取若干个不同的整数，求证：它们之中两两乘积各不相同． 2022-04-17 20:52:08
21424 5a71dafb9bb0f20009089f5f 高中 解答题 高中习题 已知 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N$，求证：$\sqrt 1+\sqrt 2+\sqrt 3+\cdots +\sqrt n$ 是无理数． 2022-04-17 20:51:08
21423 5a683e03fab5d700076769e6 高中 解答题 高中习题 证明 2022-04-17 20:50:08
21422 5a683f56fab5d70008dc25b0 高中 解答题 高中习题 设 $p$ 为奇素数，求证：$\dfrac{p^{2p}+1}{p^2+1}$ 的任一个约数模 $4p$ 余 $1$． 2022-04-17 20:50:08
21421 5a684005fab5d70008dc25b6 高中 解答题 高中习题 设正整数 $n_1,\cdots,n_k$ 满足 $n_1\mid \left(2^{n_2}-1\right),\cdots,n_{k-1}\mid \left(2^{n_k}-1\right),n_k\mid\left(2^{n_1}-1\right)$，求证：$n_1=n_2=\cdots=n_k=1$． 2022-04-17 20:49:08
21420 5a684041fab5d700076769f8 高中 解答题 高中习题 求证：任意三个连续正整数之积不是某个正整数的幂． 2022-04-17 20:49:08
21419 5a68409ffab5d700076769ff 高中 解答题 高中习题 求证：不定方程 $(x+2)^{2m}=x^n+2$ 无正整数解 $(x,m,n)$． 2022-04-17 20:48:08
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