已知 $a , b , c$ 都是有理数，$\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c $ 也是有理数，证明：$\sqrt a , \sqrt b , \sqrt c $ 都是有理数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
用反证法．
若 $\sqrt a , \sqrt b , \sqrt c $ 不都是有理数，不妨设 $\sqrt c $ 是无理数．
设 $\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c = p$，移项并平方得$$a + b + 2\sqrt {ab} = {p^2} + c - 2p\sqrt c,$$即$$2\sqrt {ab} = {p^2} + c - a - b - 2p\sqrt c,$$再次平方得$$4ab = {\left( {{p^2} + c - a - b} \right)^2} + 4{p^2}c - 4p\left( {{p^2} + c - a - b} \right)\sqrt c.$$显然 $p > 0$，而$${p^2} = a + b + c + 2\sqrt {ab} + 2\sqrt {bc} + 2\sqrt {ca} > a + b + c,$$于是$$4p\left( {{p^2} + c - a - b} \right) \ne 0,$$因此$$\sqrt c = \dfrac{{{{\left( {{p^2} + c - a - b} \right)}^2} + 4{p^2}c - 4ab}}{{4p\left( {{p^2} + c - a - b} \right)}}$$为有理数，矛盾．
因此 $\sqrt a , \sqrt b , \sqrt c $ 都是有理数．
若 $\sqrt a , \sqrt b , \sqrt c $ 不都是有理数，不妨设 $\sqrt c $ 是无理数．
设 $\sqrt a + \sqrt b + \sqrt c = p$，移项并平方得$$a + b + 2\sqrt {ab} = {p^2} + c - 2p\sqrt c,$$即$$2\sqrt {ab} = {p^2} + c - a - b - 2p\sqrt c,$$再次平方得$$4ab = {\left( {{p^2} + c - a - b} \right)^2} + 4{p^2}c - 4p\left( {{p^2} + c - a - b} \right)\sqrt c.$$显然 $p > 0$，而$${p^2} = a + b + c + 2\sqrt {ab} + 2\sqrt {bc} + 2\sqrt {ca} > a + b + c,$$于是$$4p\left( {{p^2} + c - a - b} \right) \ne 0,$$因此$$\sqrt c = \dfrac{{{{\left( {{p^2} + c - a - b} \right)}^2} + 4{p^2}c - 4ab}}{{4p\left( {{p^2} + c - a - b} \right)}}$$为有理数，矛盾．
因此 $\sqrt a , \sqrt b , \sqrt c $ 都是有理数．
答案
解析
备注
