整数数列 $\{a_n\}$，$a_1=1$，$a_{n+1}=\begin{cases} a_n+n,a_n\leqslant n\\ a_n-n,a_n>n\end{cases},n\geqslant 1,n\in\mathbb N^\ast$，求满足 $a_r<r\leqslant 3^{2017}$ 的正整数 $r$ 的个数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
共有 $\dfrac12(3^{2017}-2019)$ 个 $r$ 满足题意
【解析】
归纳可证$$a_{m_k}=m_k,m,k\in\mathbb N^\ast,$$其中$$m_{k+1}=3m_k-1,m_1=1.$$即$$m_k=\dfrac12(3^k+1),k\in\mathbb N^\ast.$$在 $(m_k,m_{k+1})$ 间，交替地 $a_r>r$ 与 $a_r<r$，对 $r\leqslant 3^{2017}$，由$$m_{2017}<3^{2017}<m_{2018},$$故恰有$$m_0,m_1,\cdots,m_{2017},$$这 $2018$ 个数，$a_r=r$．从而有$$\dfrac12\left(3^{2017}-2018\right)=\dfrac12(3^{2017}-2019)$$个 $a_r<r$．
答案
解析
备注
