已知非负实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 满足 $\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i^2=1$，求 $\displaystyle \sum_{i=1}^n\dfrac{x_i}{1-x_i^2}$ 的最小值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $x_1=x_2=x_3=\dfrac1{\sqrt3}$，$x_4=\cdots=x_n=0$ 时，所求表达式取得最小值 $\dfrac{3\sqrt3}{2}$
【解析】
由于$$\sum_{i=1}^n\dfrac{x_i}{1-x_i^2}\cdot\sum_{i}^nx_i^3(1-x_i^2)\geqslant \left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)^2=1,$$且$$\dfrac{2x^2}{3\sqrt3}+x^5\geqslant 3\cdot\sqrt[3]{\dfrac{x^2}{3\sqrt3}\cdot\dfrac{x^2}{3\sqrt3}\cdot x^5}=x^3,$$因此$$\sum_{i=1}^n x_i^3(1-x_i^2)\leqslant \dfrac{2}{3\sqrt3}\sum_{i=1}^nx_i^2=\dfrac2{3\sqrt3},$$故$$\sum_{i=1}^n\dfrac{x_i}{1-x_i^2}\geqslant \dfrac{3\sqrt3}{2}.$$当 $x_1=x_2=x_3=\dfrac1{\sqrt3}$，$x_4=\cdots=x_n=0$ 时，所求表达式取得最小值 $\dfrac{3\sqrt3}{2}$．
答案
解析
备注
