已知 $f(x)=x-\dfrac 1x-a\ln x$，其中 $a\in \mathbb R$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $f(x)$ 的单调区间；标注答案$a\leqslant 2$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间是 $(0,+\infty)$；$a>2$ 时，$f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(0,x_1\right)$ 和 $\left(x_2,+\infty\right)$，单调递减区间是 $ \left(x_1,x_2\right)$，其中\[x_1=\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2},x_2=\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}.\]解析函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{x^2-ax+1}{x^2}.\]
情形一 $a\leqslant 2$．此时 $f(x)$ 的单调递增区间是 $(0,+\infty)$．情形二 $a>2$．此时 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(0,x_1\right)$ 和 $\left(x_2,+\infty\right)$，单调递减区间是 $ \left(x_1,x_2\right)$，其中\[x_1=\dfrac{a-\sqrt{a^2-4}}{2},x_2=\dfrac{a+\sqrt{a^2-4}}{2}.\] -
当 $a\in\left[\dfrac 52,\dfrac{17}4\right]$ 时，设 $f(x)$ 的极大值为 $M$，极小值为 $N$，求 $M-N$ 的取值范围．标注答案$\left[5\ln 2-3,17\ln 2-\dfrac{15}2\right]$解析利用第 $(1)$ 小题的结果，设关于 $x$ 的方程\[a=x+\dfrac 1x\]的两根为 $x_1,x_2$ 且 $x_1<x_2$，那么有\[x_1+x_2=a,x_1x_2=1,\]且 $x_2$ 的取值范围是 $[2,4]$．此时\[\begin{split}
M-N&=f(x_1)-f(x_2)\\
&=\left(x_1-\dfrac 1{x_1}-a\ln x_1\right)-\left(x_2-\dfrac{1}{x_2}-a\ln x_2\right)\\
&=x_1-x_2+\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}+a\ln\dfrac{x_2}{x_1}\\
&=2\left[\dfrac{1}{x_2}-x_2+\left(x_2+\dfrac 1{x_2}\right)\ln x_2\right]
,\end{split}\]其中用到了 $x_1=\dfrac{1}{x_2}$ 且 $a=x_2+\dfrac{1}{x_2}$．设函数\[\varphi(x)=\dfrac 1x-x+\left(x+\dfrac 1x\right)\ln x,\]则其导函数\[\varphi'(x)=\dfrac{\left(x^2-1\right)\ln x}{x^2}\geqslant 0,\]于是 $\varphi(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，因此所求的取值范围是 $\left[2\varphi(2),2\varphi(4)\right]$，即 $\left[5\ln 2-3,17\ln 2-\dfrac{15}2\right]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
