实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 满足 $a_1+a_2+\cdots+a_n=0$，求证：$\displaystyle\max \limits_{1\leqslant k\leqslant n} a_k^2\leqslant \dfrac n3\sum_{i=1}^{n-1}(a_i-a_{i+1})^2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
对 $n$ 归纳可证如下广义Bernouli不等式：$$\forall n\in\mathbb N^\ast,x_i>-1,\prod_{i=1}^n(1+x_{i})\geqslant 1+\sum_{i=1}^nx_i,$$其中 $x_i$ 同号，那么对于 $a_i\in(0,1)$，取 $x_i=a_i-1\in(-1,0)$ 有$$\prod_{i=1}^na_i\geqslant \sum_{i=1}^na_i-(n-1),$$等号无法取得，即有$$\sum_{k=1}^na_k-\prod_{k=1}^na_k<n-1.$$
答案
解析
备注
