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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21418 5a6840e3fab5d70007676a04 高中 解答题 高中习题 试求不定方程 $(x+1)^y-x^z=1$，$x,y,z>1$ 的正整数解 $(x,y,z)$ 2022-04-17 20:47:08
21417 5a684110fab5d70007676a0c 高中 解答题 高中习题 证明：$5^x-3^y=2$ 仅有正整数解 $x=y=1$． 2022-04-17 20:47:08
21416 5a684156fab5d70008dc25c6 高中 解答题 高中习题 求证：对给定的 $n,n!=u^x-u^y$ 至多有有限多组正整数解 $(u,x,y)$． 2022-04-17 20:46:08
21415 5a6842befab5d70007676a1b 高中 解答题 高中习题 证明：对于任意 $n\geqslant 4,n\in\mathbb N^\ast$，存在一个 $n$ 次多项式 $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x_1+a_0$，使 $a_0,a_1,\cdots,a_{n-1}\in\mathbb N_+$，而对任何正整数 $m,r_1,\cdots,r_k,k\geqslant 0$，均有 $f(m)\neq f(r_1)\cdot f(r_2)\cdots f(r_k)$． 2022-04-17 20:45:08
21414 5a684334fab5d70007676a26 高中 解答题 高中习题 求证：存在无穷多个互不相同的正整数，其中任意多个不同的数之和均存在一个素因子，它的幂次为 $1$． 2022-04-17 20:45:08
21413 5a68436dfab5d70007676a2c 高中 解答题 高中习题 求证：任意 $2p-1$ 个整数中一定存在 $p$ 个数之和被 $p$ 整除，其中 $p$ 为素数． 2022-04-17 20:44:08
21412 5a6843aafab5d70008dc25da 高中 解答题 高中习题 是否存在无穷多个正整数对 $(a,b)$，满足 $b\mid (a^2+1),a\mid(b^2+1)$． 2022-04-17 20:43:08
21411 5a6821cffab5d70008dc24aa 高中 解答题 高中习题 圆 $\omega_1 ,\omega_2,\omega_3$ 两两相离．设 $\omega_1$ 与 $\omega_2$ 的外公切线交点为 $A$，$\omega_2$ 与 $\omega_3$ 的外公切线交点为 $B$，$\omega_3$ 与 $\omega_1$ 的外公切线交点为 $C$．求证：$A,B,C$ 共线． 2022-04-17 20:43:08
21410 5a682287fab5d70008dc24b1 高中 解答题 高中习题 在 $\triangle ABC$ 中，圆 $\Omega$ 与三边有六个交点．如图，已知 $AX,BY,CZ$ 共点．求证：$AX',BY',CZ'$ 共点． 2022-04-17 20:42:08
21409 5a682415fab5d70008dc24bd 高中 解答题 高中习题 $\triangle ABC$ 中，$D,E,F$ 分别在边 $BC,CA,AB$ 上，且 $AD,BE,CF$ 共点．设 $\triangle AEB$ 与 $\triangle AFC$ 的外接圆公共弦所在直线为 $l_a$，$\triangle BDA$ 与 $\triangle BFC$ 的外接圆公共弦所在直线为 $l_b$，$\triangle CDA$ 与 $\triangle CEB$ 的外接圆公共弦所在直线为 $l_c$，求证：$l_a,l_b,l_c$ 三线共点． 2022-04-17 20:41:08
21408 5a682578fab5d700076768da 高中 解答题 高中习题 不等边三角形 $ABC$ 中，$\angle A$ 内的旁切圆与边 $AB,AC$ 分别切于 $A_1,A_2$，$\angle B$ 内的旁切圆与边 $BC,BA$ 分别切于 $B_1,B_2$，$\angle C$ 内的旁切圆与边 $CA,CB$ 分别切于 $C_1,C_2$．设直线 $A_1A_2$ 与直线 $BC$ 交于 $A_3$，直线 $B_1B_2$ 与直线 $AC$ 交于 $B_3$，直线 $C_1C_2$ 与直线 $AB$ 交于 $C_3$．求证：$A_3,B_3,C_3$ 共线． 2022-04-17 20:41:08
21407 5a6846d1fab5d70007676a61 高中 解答题 高中习题 有一种如下构造的密码锁：在正 $n$ 边形 $A_1A_2\cdots A_n$ 的每个顶点处选择一个数字 $0$ 或 $1$，并将它染上红或蓝的颜色，要求任何相邻两个顶点数字相同或颜色相同（可以同时相同），求可行的密码的个数． 2022-04-17 20:40:08
21406 5a682740fab5d70008dc24ce 高中 解答题 高中习题 $\triangle ABC$ 被直线 $l$ 所截，交于 $BC$ 延长线上点 $D$ 及 $AC$ 边上点 $E$，$AB$ 边上点 $F$．在 $\triangle ABC$ 外接圆 $\Omega$ 上，作三条弦 $A_1A,B_1B,C_1C$ 均与 $l$ 平行．求证：$A_1D,B_1E,C_1F$ 共点． 2022-04-17 20:40:08
21405 5a6827e8fab5d700076768ed 高中 解答题 高中习题 四边形 $ABCF$ 中，$BF=AF+FC$．$D$ 在边 $BC$ 上，$E$ 在 $BA$ 延长线上．$BD=BE=AC$．若 $AF \cdot CD=FC \cdot AE$，求证：四边形 $ABCF$ 有外接圆． 2022-04-17 20:39:08
21404 59096e3b39f91d0009d4bf8c 高中 解答题 高中习题 已知 $y=\ln x-\dfrac 1x$ 与 $y=ax$ 交于两点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，求证：$x_1x_2>2{\mathrm e}^2$． 2022-04-17 20:39:08
21403 5a68476bfab5d70007676a6a 高中 解答题 高中习题 一所学校有 $b$ 个老师和 $c$ 个学生，满足：
$(1)$ 每个老师恰教 $k$ 个学生；$(2)$ 对任意两个学生，恰有 $h$ 个老师同时教他们．
求证：$\dfrac bh=\dfrac{c(c-1)}{k(k-1)}$．		 2022-04-17 20:38:08
21402 5a68480ffab5d70007676a73 高中 解答题 高中习题 有若干种饮品原料，其中一些是含酒精的，调酒师调制出 $68$ 杯鸡尾酒，每杯中加入了 $5$ 种原料，且至少有一种含酒精，已知对任意 $3$ 种原料，都恰存在一杯鸡尾酒包含了它们，试问：是否一定存在一杯酒中包含了至少 $4$ 种含酒精的原料？ 2022-04-17 20:38:08
21401 5a684868fab5d70007676a79 高中 解答题 高中习题 一个网球俱乐部的 $20$ 名成员进行了 $14$ 场单打比赛，每人至少打了一场，求证：必有 $6$ 场比赛，上场的 $12$ 个人互不相同． 2022-04-17 20:37:08
21400 5a6848aafab5d70007676a80 高中 解答题 高中习题 任意给定一个 $mn+1$ 项的实数列，求证：其中要么存在 $m+1$ 项的子列不减，要么存在 $n+1$ 项的子列不增，要么两者都有． 2022-04-17 20:37:08
21399 5a684979fab5d70008dc25fe 高中 解答题 高中习题 集合 $S$ 满足 $|S|=2018$，整数 $N$ 满足 $0\leqslant N \leqslant 2^{2018}$，求证：可将 $S$ 的子集分成 $A,B$ 两类，满足 $(1)$ 任意两个 $A$ 类子集的并集在 $A$ 类中；$(2)$ 任意两个 $B$ 类子集的并集在 $B$ 类中；$(3)$ 恰有 $N$ 个 $A$ 类子集． 2022-04-17 20:36:08
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