实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 满足 $a_i\in[-1,1]$,$a_ia_{i+1}\neq -1$,求证:$\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{1+a_ia_{i+1}}\geqslant \sum_{i=1}^n\dfrac{1}{1+a_i^2}$,视 $a_{1+n}=a_1$.
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
局部不等式,将 $\dfrac1{1+a_i^2}$ 与 $\dfrac1{1+a_{i+1}^2}$ 关联,往证$$\dfrac1{1+a_i^2}+\dfrac1{1+a_{i+1}^2}\leqslant \dfrac2{1+a_ia_{i+1}},$$即证明$$\dfrac{(a_i-a_{i+1})^2(1-a_ia_{i+1})}{(1+a_i^2)(1+a_{i+1}^2)(1+a_ia_{i+1})}\geqslant 0.$$轮换求和即证.
答案
解析
备注