已知 $a,b,c$ 为实数，求证：$(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geqslant 9(ab+bc+ca)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
先证明\[(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geqslant 3(a+b+c)^2.\]事实上，有\[\begin{split} (b^2+2)(c^2+2)&=b^2c^2+2b^2+2c^2+4\\
&=(bc-1)^2+2b^2+2c^2+2bc+3\\
&=(bc-1)^2+\dfrac 12(b-c)^2+\dfrac 32(b+c)^2+3,\end{split}\]于是根据柯西不等式有\[\begin{split} (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)&\geqslant 3(a^2+2)\left[1+\dfrac 12(b+c)^2\right]\\
&\geqslant 3(a+b+c)^2,\end{split}\]进而根据切比雪夫不等式，有\[\dfrac{ab+bc+ca}3\leqslant \dfrac{a+b+c}3\cdot \dfrac{b+c+a}3,\]原命题得证．
&=(bc-1)^2+2b^2+2c^2+2bc+3\\
&=(bc-1)^2+\dfrac 12(b-c)^2+\dfrac 32(b+c)^2+3,\end{split}\]于是根据柯西不等式有\[\begin{split} (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)&\geqslant 3(a^2+2)\left[1+\dfrac 12(b+c)^2\right]\\
&\geqslant 3(a+b+c)^2,\end{split}\]进而根据切比雪夫不等式，有\[\dfrac{ab+bc+ca}3\leqslant \dfrac{a+b+c}3\cdot \dfrac{b+c+a}3,\]原命题得证．
答案
解析
备注
