实数列 $\{x_n\}$ 满足：$x_n=\dfrac{n}{n+a}$，其中 $a$ 为给定的自然数，求证：任一项 $x_n$ 可表示为数列中某两项之积．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题$$\exists n,x,y\in N^\ast,\dfrac{n}{n+a}=\dfrac{x}{x+a}\cdot\dfrac{y}{y+a},$$即$$\exists n,x,y\in\mathbb N^\ast,na(x+y+a)=xya,$$当 $a=0$ 时，显然上式成立；
当 $a\geqslant 1$ 时，考虑$$(x-n)(y-n)=n(n+a),$$取 $(x,y)=(2n,2n+a)$，有$$\dfrac x{x+a}\cdot\dfrac{y}{y+a}=\dfrac n{n+a},$$而 $n<2n<2n+a$．
当 $a\geqslant 1$ 时，考虑$$(x-n)(y-n)=n(n+a),$$取 $(x,y)=(2n,2n+a)$，有$$\dfrac x{x+a}\cdot\dfrac{y}{y+a}=\dfrac n{n+a},$$而 $n<2n<2n+a$．
答案
解析
备注
