题目 已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x+x^2-x$，$g(x)=x^2+ax+b$，其中 $a,b$ 均为实数． 问题1 当 $a=1$ 时，求函数 $F(x)=f(x)-g(x)$ 的单调区间； 答案1 在 $(-\infty,\ln 2)$ 上单调递减，在 $(\ln 2,+\infty)$ 上单调递增 解析1 当 $a=1$ 时，函数$$F(x)=f(x)-g(x)={\rm e}^x-2x-b,$$求导得 $F'(x)={\rm e}^x-2$，所以 $F(x)$ 在 $(-\infty,\ln 2)$ 上单调递减，在 $(\ln 2,+\infty)$ 上单调递增． 备注1 问题2 若曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,1)$ 处的切线 $l$ 与曲线 $y=g(x)$ 切于点 $(1,c)$，求 $a,b,c$ 的值； 答案2 $(a,b,c)=(-2,2,1)$ 解析2 因为$$f'(x)={\rm e}^x+2x-1,g'(x)=2x+a,$$所以由题意知$$\begin{cases} g(1)=c=1+a+b,\\f'(0)=0=g'(1)=2+a=\dfrac {c-1}{1-0}=c-1,\end{cases} $$解得 $(a,b,c)=(-2,2,1)$． 备注2 问题3 若 $f(x)\geqslant g(x)$ 恒成立，求 $a+b$ 的最大值． 答案3 $a+b$ 的最大值为 ${\rm e}-1$ 解析3 因为$$f(x)-g(x)={\rm e}^x-(a+1)x-b\geqslant 0,$$先探索必要条件，令 $x=1$ 得 $a+b \leqslant \mathrm{e}-1$．<br/>如果 $a+b$ 可以取到 ${\rm e}-1$，那么它就是所求最大值，尝试构造：<br/>若取 $(a,b)=(\mathrm{e}-1,0)$，则\[<br/>f(x)-g(x)=\mathrm{e}^x-\mathrm{e}x\geqslant 0<br/>\]恒成立．<br/>综上所述，$a+b$ 的最大值为 $\mathrm{e}-1$． 备注3 第（3）问常规做法：<br/>因为$$f(x)-g(x)={\rm e}^x-(a+1)x-b\geqslant 0$$恒成立，所以$$a+b\leqslant {\rm e}^x-(a+1)x+a$$恒成立，令 $h(x)={\rm e}^x-(a+1)x+a$，求 $h(x)$ 有最小值，求导得$$h'(x)={\rm e}^x-(a+1),$$当 $a+1<0$ 时，$x\to-\infty$ 时，有 $h(x)\to-\infty$，$a+b$ 不可能取到最大值；$a=-1$ 时，$x\to-\infty$ 时，$h(x)\to -1$；当 $a>-1$ 时，$h(x)$ 的最小值为$$h(\ln(a+1))=2a+1-(a+1)\ln(a+1),$$下面求关于 $a$ 的函数$$m(a)=2a+1-(a+1)\ln(a+1)$$的最大值即可，求导得$$m'(a)=1-\ln(a+1),$$所以 $m(a)$ 的最大值为$$m({\rm e}-1)={\rm e}-1>-1,$$综上知 $a+b$ 的最大值为 ${\rm e}-1$．此时 $a={\rm e}-1$，$b=0$．<br/>每日一题[944]必要条件探路．