整数数列 $\{a_n\},a_1=u+v$，$\begin{cases} a_{2m}=a_m+u,\\ a_{2m+1}=a_m+v,\end{cases} u,v\in\mathbb N^\ast$．记 $S_n=a_1+\cdots+a_n$，求证：$\{S_n\}$ 中有无穷多个平方数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
由题有 $a_{2m}=a_{2m+1}=2a_{m}+(u+v)$，记 $u+v=C$，考虑和项$$\begin{split} &T_k=a_1+a_2+\cdots+a_{2^k-1},k\in\mathbb N^\ast,\\
&T_{k+1}=a_1+2T_k+(2^k-1)(u+v)=2T_k+2^k\cdot C,\end{split}$$故$$T_k=k\cdot 2^{k-1}\cdot C.$$令 $C=2^r\cdot p,(p,2)=1$，则$$T_k=2^{k+r-1}\cdot kp,$$若 $r$ 为偶数，取 $k=pt^2$，其中 $t$ 为任意奇数；
若 $r$ 为奇数，取 $k=pt^2$，其中 $t$ 为任意偶数．
&T_{k+1}=a_1+2T_k+(2^k-1)(u+v)=2T_k+2^k\cdot C,\end{split}$$故$$T_k=k\cdot 2^{k-1}\cdot C.$$令 $C=2^r\cdot p,(p,2)=1$，则$$T_k=2^{k+r-1}\cdot kp,$$若 $r$ 为偶数，取 $k=pt^2$，其中 $t$ 为任意奇数；
若 $r$ 为奇数，取 $k=pt^2$，其中 $t$ 为任意偶数．
答案
解析
备注
