题目 设函数 $f\left( x \right) = \left( {x - 1} \right){{\mathrm{e}}^x} - k{x^2}\left(k \in {\mathbb{R}}\right) $． 问题1 当 $k = 1$ 时，求函数 $f\left( x \right)$ 的单调区间； 答案1 函数 $ f\left(x\right) $ 的单调递增区间为 $ \left(-\infty ,0\right),\left(\ln 2,+\infty \right) $；单调递减区间为 $ \left(0,\ln 2\right) $ 解析1 由题意可知，函数 $f\left(x\right)=\left(x-1\right){\mathrm e}^x-kx^2$，其导函数\[\begin{split}f'\left(x\right) & =\left(x-1\right){{{\mathrm{e}}}^{x}}+{{{\mathrm{e}}}^{x}}-2kx \\& =x{{{\mathrm{e}}}^{x}}-2kx \\&=x\left({{{\mathrm{e}}}^{x}}-2k\right) .\end{split}\]当 $ k=1 $ 时，令 $ f'\left(x\right)=x\left({{{\mathrm{e}}}^{x}}-2\right)=0 $，得\[ {{x}_{1}}=0,{{x}_{2}}=\ln 2 ;\]当 $ x<0 $ 时，$ f'\left(x\right)>0 $；当 $ 0<x<\ln 2 $ 时，$ f'\left(x\right)<0 $；当 $ x>\ln 2 $ 时，$ f'\left(x\right)>0 $；<br/>所以，函数 $ f\left(x\right) $ 的单调递增区间为 $ \left(-\infty ,0\right),\left(\ln 2,+\infty \right) $；单调递减区间为 $ \left(0,\ln 2\right) $． 备注1 问题2 当 $k \in \left( {\dfrac{1}{2},1} \right]$ 时，求函数 $f\left( x \right)$ 在 $\left[ {0,k} \right]$ 上的最大值 $M$． 答案2 $M=f(k)=(k-1){\rm e}^k-k^3$ 解析2 根据题意，有 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=x\left({\rm e}^x-2k\right),\]考虑到 $y={\rm e}^x-2k$ 在 $[0,k]$ 上单调递增，因此需要考虑 ${\rm e}^k-2k$ 的正负．<br/>事实上，有\[\left({\rm e}^k-2k\right)_k'={\rm e}^k-2,\]于是其极小值，亦为最小值是\[\left({\rm e}^k-2k\right)\left|_{k=\ln 2}\right.=2-2\ln 2>0,\]因此函数 $f(x)$ 在 $[0,k]$ 上先单调递减，再单调递增，其最大值为\[\max\{f(0),f(k)\}=\max\{-1,(k-1){\rm e}^k-k^3\}.\]作差比较，有\[\begin{split}f(k)-f(0)&=(k-1){\rm e}^k-k^3+1\\ &=(1-k)\cdot {\rm e}^k\left[{\rm e}^{-k}\cdot (k^2+k+1)-1\right].\end{split}\]考虑到\[\left({\rm e}^{-k}\cdot (k^2+k+1)\right)'={\rm e}^{-k}\cdot k(1-k)\geqslant 0,\]于是\[{\rm e}^{-k}(k^2+k+1)>\left({\rm e}^{-k}(k^2+k+1)\right)\left|_{k=0}\right.=1,\]所以有 $f(k)-f(0)>0$．<br/>因此所求的最大值为 $f(k)=(k-1){\rm e}^k-k^3$． 备注2 每日一题[820]含参函数的最值．