已知 ${a_1},{a_2},{a_3}, \cdots ,{a_n}$ 是各不相同的自然数，$n \geqslant 2$，求证：$${\left( {\dfrac{1}{{{a_1}}}} \right)^n} + {\left( {\dfrac{1}{{{a_2}}}} \right)^n} + {\left( {\dfrac{1}{{{a_3}}}} \right)^n} + \cdots + {\left( {\dfrac{1}{{{a_n}}}} \right)^n} < 2.$$
【难度】
【出处】
2003年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有\[\begin{split}{\left( {\dfrac{1}{{{a_1}}}} \right)^n} + {\left( {\dfrac{1}{{{a_2}}}} \right)^n} + {\left( {\dfrac{1}{{{a_3}}}} \right)^n} + \cdots + {\left( {\dfrac{1}{{{a_n}}}} \right)^n} &< \dfrac{1}{{a_1^2}} + \dfrac{1}{{a_2^2}} + \dfrac{1}{{a_3^2}} + \cdots + \dfrac{1}{{a_n^2}}\\& < \dfrac{1}{{{1^2}}} + \dfrac{1}{{{2^2}}} + \dfrac{1}{{{3^2}}} + \cdots + \dfrac{1}{{{n^2}}} \\& < 1 + 1 - \dfrac{1}{n} < 2.\end{split}\]
答案
解析
备注
