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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27078 596c24c822d14000072f85be 高中 解答题 自招竞赛 如图，在直三棱柱 $ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，$\angle BAC=90^{\circ}$，$AB=a$，$AC=2$，$AA_{1}=1$．点 $D$ 在棱 $B_{1}C_{1}$ 上，且 $B_{1}D:DC_{1}=1:3$． 2022-04-17 21:54:00
27077 596332703cafba00083373f2 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 为正数，且 $a_1+a_2+\cdots +a_n=1$，求证：$$\left(a_1+\dfrac 1{a_1}\right)^2+\left(a_2+\dfrac 1{a_2}\right)^2+\cdots +\left(a_n+\dfrac 1{a_n}\right)^2\geqslant \dfrac{(n^2+1)^2}{n}.$$ 2022-04-17 21:54:00
27076 596333003cafba00076131db 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足：$a_{1}=2$，$a_{2}=3$，$2a_{n+1}=3a_{n}-a_{n-1}(n\geqslant 2)$． 2022-04-17 21:53:00
27075 5911108d40fdc70009113e35 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 满足 ${a_1} = a$，${a_2} = b$，$2{a_{n + 2}} = {a_{n + 1}} + {a_n}$． 2022-04-17 21:52:00
27074 595792c7d3b4f90007b6fd20 高中 解答题 高中习题 设 $A,B,C$ 是椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 上的三个点，判断四边形 $OABC$ 能否为矩形． 2022-04-17 21:52:00
27073 5957993ad3b4f9000ad5e9b5 高中 解答题 高中习题 $4$ 个相同的排球，$5$ 个相同的篮球装入 $3$ 个不同的箱子，每箱至少有 $1$ 个球，求不同的装法总数． 2022-04-17 21:51:00
27072 59111e7a40fdc7000841c773 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $\dfrac{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}}{2} + {y^2} = 1$ 与抛物线 ${y^2} = \dfrac{1}{2}x$ 在第一象限内有两个公共点 $A , B$，线段 $AB$ 的中点 $M$ 在抛物线 ${y^2} = \dfrac{1}{4}\left( {x + 1} \right)$ 上，求 $a$． 2022-04-17 21:51:00
27071 59111ebb40fdc70009113e5f 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\left\{ {{b_n}} \right\}$ 满足 ${b_1} = 1$，${b_n} > 0$ $\left( {n = 2 , 3 , \cdots } \right)$，其前 $n$ 项乘积 ${T_n} = {\left( {{a^{n - 1}}{b_n}} \right)^n}$ $\left( {n = 1 , 2 , \cdots } \right)$． 2022-04-17 21:50:00
27070 59579c74d3b4f90007b6fd36 高中 解答题 高中习题 将一堆小球（数量不小于 $2$）分为两堆，记录两堆所包含的小球数之积，将这种操作称为“分堆”，将得到的积称为“分堆积”．将一堆包含 $n$ 个小球的小球进行一次“分堆”，对应的“分堆积”设为 $p_1$；从得到的两堆小球中选出一堆进行“分堆”，对应的“分堆积”设为 $p_2$；再从得到的三堆小球中选出一堆进行“分堆”，对应的“分堆积”设为 $p_3$；依次进行下去，直到最后得到 $n$ 堆小球（每堆的小球数量均为 $1$）为止．设$$S(n)=p_1+p_2+\cdots +p_{n-1},$$证明：$S(n)$ 是一个与分堆的具体过程无关的定值． 2022-04-17 21:50:00
27069 596333763cafba000ac43f0b 高中 解答题 自招竞赛 在椭圆中定义：过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦，叫做椭圆的通径．如图，已知椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$、$F_{2}$，其离心率为 $\dfrac{1}{2}$，通径长为 $3$． 2022-04-17 21:50:00
27068 59579f44d3b4f900095c66b3 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a>0$），求证：最多存在两个整数 $s,t$，使得 $|f(s)|,|f(t)|$ 小于 $\dfrac a2$． 2022-04-17 21:49:00
27067 59579f46d3b4f90007b6fd45 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a>0$），求证：最多存在两个整数 $s,t$，使得 $|f(s)|,|f(t)|$ 小于 $\dfrac a2$． 2022-04-17 21:49:00
27066 59579f48d3b4f9000ad5e9cb 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a>0$），求证：最多存在两个整数 $s,t$，使得 $|f(s)|,|f(t)|$ 小于 $\dfrac a2$． 2022-04-17 21:48:00
27065 5957a155d3b4f900095c66bc 高中 解答题 高中习题 已知 $x\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)$，求证：$\sin x\cdot \tan x>x^2$． 2022-04-17 21:48:00
27064 5957b634d3b4f900086c4556 高中 解答题 高中习题 已知 $\triangle ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 满足 $\sin A,\cos B,\sin C$ 成等比数列，$\cos A,\sin B,\cos C$ 成等差数列，求 $\cos B$． 2022-04-17 21:47:00
27063 59112c38e020e7000a7987ee 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 ${f_1}(x) = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}$，对于 $n = 1,2,3, \cdots $，定义 ${f_{n + 1}}\left( x \right) = {f_1}\left[ {{f_n}\left( x \right)} \right]$．若 ${f_{35}}\left( x \right) = {f_5}\left( x \right)$，则 ${f_{28}}\left( x \right)$ 的解析表达式是什么？ 2022-04-17 21:46:00
27062 5959be95d3b4f90007b6fda1 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=\dfrac 12a_n+\dfrac{1}{a_n}$，且 $a_1=1$，求证：对任意 $n\geqslant 2$，均有 $\dfrac 2{\sqrt{a_n^2-2}}$ 是正整数． 2022-04-17 21:46:00
27061 591132dee020e7000878f55c 高中 解答题 自招竞赛 设 $\left\{ {{x_n}} \right\}$ 为递增数列，${x_1} = 1$，${x_2} = 4$，在曲线 $y = \sqrt x $ 上与之对应的点列为 ${P_1}\left( {1,1} \right)$，${P_2}\left( {4,2} \right)$，${P_3}\left( {{x_3},\sqrt {{x_3}} } \right)$，…，${P_n}\left( {{x_n},\sqrt {{x_n}} } \right)$，…，且以 $O$ 为原点，由 $O{P_n}$、$O{P_{n + 1}}$ 与曲线 $O{P_{n + 1}}$ 所围成部分的面积为 ${S_n}$，若 $\left\{ {{S_n}} \right\}$（$n \in {\mathbb{N}}$）是公比为 $\dfrac{4}{5}$ 的等比数列，试求 ${S_1} + {S_2} + \cdots + {S_n} + \cdots $ 和 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n}$． 2022-04-17 21:45:00
27060 596333f63cafba0009670dce 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=\left(a-\dfrac{1}{2}\right){\rm e}^{2x}+x(a\in\mathbb R)$． 2022-04-17 21:45:00
27059 5959c062d3b4f90007b6fdb1 高中 解答题 高中习题 已知正数数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=1$． 2022-04-17 21:44:00
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