已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}=3$，$a_{n+1}=a_{n}^{2}-na_{n}+\lambda (n\in\mathbb N^{*},\lambda \text{为实数})$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
-
若 $a_{n}\geqslant 2n$ 恒成立，求 $\lambda $ 的取值范围；标注答案略解析当 $n=2$ 时，由$$a_{2}=6+\lambda\geqslant 2\times 2$$得 $\lambda \geqslant -2$，即 $a_{n}\geqslant 2n$ 时，$\lambda \geqslant -2$．
下面证明当 $\lambda \geqslant -2$ 时，$a_{n}\geqslant 2n$．归纳基础 当 $n=2$ 时，$a_{2}\geqslant 2\times 2$ 成立；递推证明 假设当 $n=k(k\geqslant 2)$ 时，$a_{k}\geqslant 2k$ 成立；
当 $n=k+1$ 时，\[\begin{split}a_{k+1}&=a_{k}^{2}-ka_{k}+\lambda \\&=a_{k}(a_{k}-k)+\lambda \\&\geqslant 2k^{2}-2\\&=2(k+1)(k-1)\\&\leqslant 2(k+1),\end{split}\]故对所有 $n\geqslant 2$，$a_{n}\geqslant 2n$ 成立．
当 $n=1$ 时，$a_{1}=3\geqslant 2\times 1$ 成立，故对所有 $n\in\mathbb N^{*}$，$a_{n}\geqslant 2n$ 成立．
综上，$\lambda$ 的取值范围是 $\lambda\geqslant -2$． -
若 $\lambda =-2$，求证：$\dfrac{1}{a_{1}-2}+\dfrac{1}{a_{2}-2}+\cdots+\dfrac{1}{a_{n}-2}<2$．标注答案略解析当 $\lambda=-2$ 时，$$\begin{split}&\dfrac {1}{a_1-1}=1<2,\\ &\dfrac {1}{a_1-1}+\dfrac {1}{a_2-2}=\dfrac 32<2.\end{split}$$当 $n\geqslant 2$ 时，因为$$a_{n+1}-2=a_{n}^{2}-na_{n}-4\geqslant na_{n}-4\geqslant 2(a_{n}-2)>0,$$所以当 $n\geqslant 3$ 时，$$\dfrac{1}{a_{n}-2}\leqslant \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{a_{n-1}-2}\leqslant \cdots\leqslant \dfrac{1}{2^{n-2}}\cdot \dfrac{1}{a_{2}-2}=\dfrac{1}{2^{n-1}},$$因此$$\begin{split}&\quad\dfrac{1}{a_{1}-2}+\dfrac{1}{a_{2}-2}+\cdots+\dfrac{1}{a_{n}-2}\\&\leqslant 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{2}}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n-1}}\\&=2-\dfrac{1}{2^{n-1}}<2.\end{split}$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
