如图，椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率是 $\dfrac{\sqrt 2}2$，点 $P(0,1)$ 在短轴 $CD$ 上，且 $\overrightarrow {PC}\cdot \overrightarrow {PD}=-1$．
【难度】
【出处】
2015年高考四川卷（文）
【标注】
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求椭圆 $E$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$解析根据题意，有$$\overrightarrow {PC}\cdot \overrightarrow {PD}=(1+b)(1-b)=1-b^2=-1,$$于是 $b^2=2$，结合 $e=\dfrac{\sqrt 2}2$，可得椭圆 $E:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}2=1$．
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设 $O$ 为坐标原点，过点 $P$ 的动直线与椭圆交于 $A,B$ 两点．是否存在常数 $\lambda$，使得 $\overrightarrow {OA}\cdot\overrightarrow {OB}+\lambda\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PB}$ 为定值？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由．标注答案存在常数 $\lambda=1$，使得 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+\lambda\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ 为定值 $-3$解析当直线 $AB$ 的斜率存在时，设直线 $AB$ 的方程为 $y=kx+1$，$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，联立直线 $AB$ 的方程与椭圆 $E$ 的方程，有$$(1+2k^2)x^2+4kx-2=0,$$因此\[\begin{split} \overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}+\lambda \overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PB}&=x_1x_2+y_1y_2+\lambda\left[x_1x_2+(y_1-1)(y_2-1)\right]\\
&=x_1x_2+(kx_1+1)(kx_2+1)+\lambda\left(x_1x_2+kx_1\cdot kx_2\right)\\&=(1+\lambda)(1+k^2)x_1x_2+k(x_1+x_2)+1\\&=(1+\lambda)(1+k^2)\cdot\dfrac{-2}{1+2k^2}+k\cdot\dfrac{-4k}{1+2k^2}+1\\&=-\dfrac{2\lambda+1+2k^2\cdot(\lambda +2)}{1+2k^2},\end{split}\]因此当 $2\lambda +1=\lambda +2$ 即 $\lambda =1$ 时，$\overrightarrow {OA}\cdot \overrightarrow {OB}+\lambda \overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PB}$ 为定值 $-3$．
容易验证，当直线 $AB$ 的斜率不存在时，亦有 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=-3$．
综上所述，存在常数 $\lambda=1$，使得 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+\lambda\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ 为定值 $-3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
