已知正整数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 都是合数，并且两两互素，求证：$\dfrac 1{a_1}+\dfrac 1{a_2}+\cdots +\dfrac 1{a_n}<\dfrac 12$．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $a_k$ 的最小素因子为 $p_k$，因为 $a_k$ 不是素数，所以$$a_k\geqslant p_k^2,$$于是\[\begin{split}\sum\limits_{k=1}^n{\dfrac 1{a_k}}&\leqslant \sum\limits_{k=2}^n{\dfrac 1{p_k^2}}\\&\leqslant \dfrac 14 +\sum\limits_{k=2}^n{\dfrac 1{(2k-1)^2}}\\&\leqslant \dfrac 14 +\sum\limits _{k=2}^n{\dfrac 1{(2k-1)^2-1}}\\&=\dfrac 12 -\dfrac 1{4n}<\dfrac 12.\end{split}\]
答案
解析
备注
