已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上顶点为 $B$，左焦点为 $F$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 5}5$．
【难度】
【出处】
2015年高考天津卷（文）
【标注】
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求直线 $BF$ 的斜率；标注答案$2$解析直线 $BF$ 的斜率为$$\dfrac bc=\sqrt{\dfrac{a^2-c^2}{c^2}}=\sqrt{\dfrac{1}{e^2}-1}=2.$$
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设直线 $BF$ 与椭圆交于 $P$（$P$ 异于点 $B$），过点 $B$ 且垂直于 $BP$ 的直线与椭圆交于点 $Q$（$Q$ 异于点 $B$），直线 $PQ$ 与 $y$ 轴交于点 $M$，$|PM|=\lambda |MQ|$．
（i）求 $\lambda$ 的值；
（ii）若 $|PM|\sin\angle BQP=\dfrac{7\sqrt 5}9$，求椭圆的方程．标注答案（i）$\dfrac 78$．（ii）$\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}4=1$解析由椭圆的离心率为 $\dfrac{\sqrt 5}5$，可得 $a^2=\dfrac 54b^2$，因此椭圆方程为 $\dfrac{4x^2}{5b^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$．
设过点 $B$ 的直线 $y=kx+b$ 与椭圆交于另一点 $N$，则联立该直线方程与椭圆方程，得$$(4+5k^2)x^2+10kbx=0,$$于是 $N$ 点的横坐标为 $-\dfrac{10kb}{4+5k^2}$．
当 $k$ 取 $2$ 时，可得 $P$ 点的横坐标 $x_P=-\dfrac{5b}6$；
当 $k$ 取 $-\dfrac 12$ 时，可得 $Q$ 点的横坐标 $x_Q=\dfrac{20b}{21}$．
（i）根据题意，$\lambda=\left|\dfrac{x_P}{x_Q}\right|=\dfrac 78$．
（ii）根据题意，结合（i）中的结论有$$|PM|\sin\angle BQP=\dfrac 7{15}\cdot |PQ|\cdot\sin\angle BQP=\dfrac 7{15}\cdot |BP|=\dfrac{7\sqrt 5}9,$$于是 $|BP|=\dfrac{5\sqrt 5}3$；
另一方面，由弦长公式，有$$|BP|=\sqrt{1^2+2^2}\cdot\big|x_P-0\big|=\dfrac{5\sqrt 5 b}6,$$因此可得 $b=2$，从而椭圆方程为 $\dfrac{x^2}{5}+\dfrac{y^2}4=1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
