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已知数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=2$，对于任意的 $p,q \in \mathbb N^*$，有 $a_{p+q}=a_p+a_q$．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛辽宁省预赛
【标注】
  1. 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；
    标注
    答案
    $a_n=2n$
    解析
    取 $p=n$，$q=1$，则$$a_{n+1}=a_n+a_1=a_n+2.$$所以$$a_{n+1}-a_n=2(n\in \mathbb N^*),$$即 $\{a_n\}$ 是公差为 $2$，首项为 $2$ 的等差数列，故 $a_n=2n$．
  2. 数列 $\{b_n\}$ 满足 $a_n=\dfrac {b_1}{2+1}-\dfrac {b_2}{2^2+1}+\dfrac {b_3}{2^3+1}-\dfrac {b_4}{2^4+1}+\cdots +{(-1)^{{n-1}}}\dfrac {b_n}{2^n+1} (n \in \mathbb N^*)$，求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式；
    标注
    答案
    $ b_n=(-1)^{n-1}(2^{n+1}+2)(n \in \mathbb N^*) $
    解析
    因为$$ \dfrac {b_1}{2+1}-\dfrac {b_2}{2^2+1}+\dfrac {b_3}{2^3+1}-\dfrac {b_4}{2^4+1}+\cdots +{(-1)^{{n-1}}}\dfrac {b_n}{2^n+1} =a_n (n \geqslant 1),\quad\cdots\cdots \text{ ① }$$所以$$ \dfrac {b_1}{2+1}-\dfrac {b_2}{2^2+1}+\dfrac {b_3}{2^3+1}-\dfrac {b_4}{2^4+1}+\cdots +{(-1)^{{n-2}}}\dfrac {b_{n-1}}{2^{n-1}+1} =a_{n-1} (n \geqslant 2),\quad\cdots\cdots \text{ ② }$$① $-$ ② 得：$${(-1)^{{n-1}}}\dfrac {b_{n }}{2^{n }+1} =2 (n \geqslant 2),$$所以$$b_n=(-1)^{n-1}(2^{n+1}+2)(n \geqslant 2).$$当 $n=1$ 时，$a_1=\dfrac {b_1}{3}$，所以 $b_1=b$，满足上式．
    因此$$ b_n=(-1)^{n-1}(2^{n+1}+2)(n \in \mathbb N^*).$$
  3. 设 $C_n=3^n+\lambda b_n(n \in \mathbb N^*)$，是否存在实数 $\lambda$，当 $n \in \mathbb N^*$ 时，$C_{n+1}>C_n$ 恒成立，若存在，求实数 $\lambda$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．
    标注
    答案
    存在，$\lambda \in \left(-\dfrac {9}{14},\dfrac 38\right)$，
    解析
    由题意得：$$C_n=3^n+(-1)^{n-1}(2^{n+1}+2)\cdot \lambda.$$假设存在 $ \lambda$，使 $C_{n+1}>C_n (n \in \mathbb N^*)$，则$$3^{n+1}+(-1)^n( 2^{n+2}+2)\cdot \lambda >3^n+(-1)^{n-1}(2^{n+1}+2)\cdot \lambda,$$所以$$[ (-1)^n(2^{n+2}+2 )-(-1)^{n-1}(2^{n+1}+2)]\cdot \lambda>3^n-3^{n+1}=-2\cdot 3^n,$$故$$(-1)^n (3\cdot 2^{n+1}+4)\cdot \lambda >-2 \cdot 3^n.$$当 $n$ 为正偶数时，$$ (3\cdot 2^{n+1}+4)\cdot \lambda >-2 \cdot 3^n $$恒成立，则$$ \lambda >\left(-\dfrac {3^n}{3\cdot 2^n+2}\right)_{\max}=\left(-\dfrac {1}{3\cdot \left(\dfrac 23\right)^n+2\cdot \left(\dfrac 13\right)^n}\right)_{\max}.$$因为$$\left(-\dfrac {1}{3\cdot \left(\dfrac 23\right)^n+2\cdot \left(\dfrac 13\right)^n}\right)_{\max}= -\dfrac {1}{3\cdot \left(\dfrac 23\right)^2+2\cdot \left(\dfrac 13\right)^2} =-\dfrac {9}{14},$$所以 $\lambda > -\dfrac {9}{14}$．
    当 $n$ 为正奇数时，$$- (3\cdot 2^{n+1}+4)\cdot \lambda >-2 \cdot 3^n $$恒成立，则$$ \lambda <\left( \dfrac {3^n}{3\cdot 2^n+2}\right)_{\min}=\left( \dfrac {1}{3\cdot \left(\dfrac 23\right)^n+2\cdot \left(\dfrac 13\right)^n}\right)_{\min}.$$因为$$\left( \dfrac {1}{3\cdot \left(\dfrac 23\right)^n+2\cdot \left(\dfrac 13\right)^n}\right)_{\min}= \dfrac {1}{3\cdot \left(\dfrac 23\right)^1+2\cdot \left(\dfrac 13\right)^1} = \dfrac {3}{8},$$所以 $\lambda <\dfrac {3}{8}$．
    综上可知，存在实数 $\lambda \in \left(-\dfrac {9}{14},\dfrac 38\right)$，使 $n \in \mathbb N^*$ 时，$C_{n+1}>C_n $ 恒成立．
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2 问题3 答案3 解析3 备注3
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