给定两个数列 $\{x_n\}$，$\{y_n\}$ 满足 $x_0=y_0=1$，$x_n=\dfrac{x_{n-1}}{2+x_{n-1}}(n\geqslant 1)$，$y_n=\dfrac{y_{n-1}^2}{1+2y_{n-1}}(n\geqslant 1)$．证明对于任意自然数 $n$，都存在自然数 $j_n$，使得 $y_n=x_{jn}$．
【难度】
【出处】
2011年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
由$$x_n=\dfrac{x_{n-1}}{2+x_{n-1}}(n\geqslant 1),$$得到$$\dfrac 1{x_n}=1+\dfrac 2{x_{n-1}},$$即$$ {\dfrac 1{x_n}}+1=2\left(1+\dfrac 1{x_{n-1}}\right),$$所以 $\left\{\dfrac 1{x_n}+1\right\}$ 为等比数列，首项为 $2$，公比为 $2$，故$$\dfrac 1{x_n}+1=2^{n+1},$$进而$$x_n=\dfrac 1{2^{n+1}-1}.$$又由$$y_n=\dfrac{y_{n-1}^2}{1+2y_{n-1}}(n\geqslant 1),$$得$$y_n+1=\dfrac{(y_{n-1}+1)^2}{1+2y_{n-1}},$$所以$$\dfrac{y_n+1}{y_n}=\left(\dfrac{y_{n-1}+1}{y_{n-1}}\right)^2,$$即$$1+\dfrac 1{y_n}=\left(1+\dfrac 1{y_{n-1}}\right)^2,$$由$$1+\dfrac 1{y_0}=2,$$得$$1+\dfrac 1{y_n}=2^{2^n},$$所以$$y_n=\dfrac 1{2^{2^n}-1},$$因此取 $j_n=2^n-1$ 即可．
答案
解析
备注
