一圆锥的底面半径为 $12$，高为 $16$，球 ${O_1}$ 内切于圆锥，球 ${O_2}$ 内切于圆锥侧面，与球 ${O_1}$ 外切，球 ${O_3}$ 内切于圆锥侧面，与球 ${O_2}$ 外切，……，以次类推．
【难度】
【出处】
2003年复旦大学保送生招生测试
【标注】
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求所有这些球的半径 ${r_n}$ 的通项公式；标注答案${r_n} = 6 \cdot {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^{n - 1}}$解析如图，圆锥母线长为 $20$，$${r_1} = \dfrac{{2S}}{c} = \dfrac{{2 \cdot 12 \cdot 16}}{{20 + 20 + 24}} = 6,$$
相似比为 $\dfrac{{16 - 2 \cdot 6}}{{16}} = \dfrac{1}{4}$，于是 ${r_n} = 6 \cdot {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^{n - 1}}$． -
所有这些球的体积分别为 ${V_1},{V_2}, \cdots ,{V_n}, \cdots $．求 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{V_1} + {V_2} + \cdots + {V_n}} \right)$．标注答案$\dfrac{{2048{\rm{\pi }}}}{7}$解析因为$${V_1} = \dfrac{{{\rm{4\pi }}}}{3}{r_1}^3 = \dfrac{{4{\rm{\pi }}}}{3} \cdot {6^3} = 288{\rm{\pi }}, $$于是$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{V_1} + {V_2} + \cdots + {V_n}} \right) = \dfrac{{{V_1}}}{{1 - {{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)}^3}}} = \dfrac{{288{\rm{\pi }} \cdot {4^3}}}{{63}} = \dfrac{{2048{\rm{\pi }}}}{7}.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
