已知椭圆 $\dfrac{x^2}{5^2}+\dfrac{y^2}{4^2}=1$，过其左焦点 $F_1$ 作一条直线交椭圆于 $A,B$ 两点，$D(a,0)$ 为 $F_1$ 右侧一点，连 $AD,BD$ 分别交椭圆左准线于 $M,N$．若以 $MN$ 为直径的圆恰好过 $F_1$，求 $a$ 的值．
【难度】
【出处】
2011年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
$5$
【解析】
$F_1(-3,0)$，左准线方程为 $x=-\dfrac{25}{3}$，$AB$ 方程为 $y=k(x+3)$（$k$ 为斜率）．
设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，联立$$\begin{cases}y=k(x+3),\\ \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1,\end{cases}$$得$$(16+25k^2)x^2+150k^2x+225k^2-400=0,$$所以$$x_1+x_2=-\dfrac{150k^2}{16+25k^2},x_1x_2=-\dfrac{225k^2-400}{16+25k^2},$$故$$y_1y_2=k^2(x_1+3)(x_2+3)=-\dfrac{256k^2}{16+25k^2}.$$设 $M\left(-\dfrac{25}{3},y_3\right)$，$N\left(-\dfrac{25}{3},y_4\right)$．
由 $M,A,D$ 共线得$$y_3=\dfrac{(3a+25)y_1}{3(a-x_1)},$$同理$$y_4=\dfrac{(3a+25)y_2}{3(a-x_2)}.$$又 $\overrightarrow{F_1M}=\left(-\dfrac{16}{3},y_3\right)$，$\overrightarrow{F_1N}=\left(-\dfrac{16}{3},y_4\right)$，由已知得$${\overrightarrow{F_1M}\cdot \overrightarrow{F_1N}}=0,$$所以 $y_3y_4=-\dfrac{256}{9}$，而$$y_3y_4=\dfrac{(3a+25)^2y_1y_2}{9(a-x_1)(a-x_2)},$$即$$-\dfrac{256k^2}{16+25k^2}\cdot \dfrac{(3a+25)^2}{9(a-x_1)(a-x_2)}=-\dfrac{256}{9},$$整理得$$(1+k^2)(16a^2-400)=0,$$解得 $a=\pm 5$，．
又 $a>-3$，所以 $a=5$．
设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，联立$$\begin{cases}y=k(x+3),\\ \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1,\end{cases}$$得$$(16+25k^2)x^2+150k^2x+225k^2-400=0,$$所以$$x_1+x_2=-\dfrac{150k^2}{16+25k^2},x_1x_2=-\dfrac{225k^2-400}{16+25k^2},$$故$$y_1y_2=k^2(x_1+3)(x_2+3)=-\dfrac{256k^2}{16+25k^2}.$$设 $M\left(-\dfrac{25}{3},y_3\right)$，$N\left(-\dfrac{25}{3},y_4\right)$．
由 $M,A,D$ 共线得$$y_3=\dfrac{(3a+25)y_1}{3(a-x_1)},$$同理$$y_4=\dfrac{(3a+25)y_2}{3(a-x_2)}.$$又 $\overrightarrow{F_1M}=\left(-\dfrac{16}{3},y_3\right)$，$\overrightarrow{F_1N}=\left(-\dfrac{16}{3},y_4\right)$，由已知得$${\overrightarrow{F_1M}\cdot \overrightarrow{F_1N}}=0,$$所以 $y_3y_4=-\dfrac{256}{9}$，而$$y_3y_4=\dfrac{(3a+25)^2y_1y_2}{9(a-x_1)(a-x_2)},$$即$$-\dfrac{256k^2}{16+25k^2}\cdot \dfrac{(3a+25)^2}{9(a-x_1)(a-x_2)}=-\dfrac{256}{9},$$整理得$$(1+k^2)(16a^2-400)=0,$$解得 $a=\pm 5$，．
又 $a>-3$，所以 $a=5$．
答案
解析
备注
