一矩形的一边在 $x$ 轴上，另两个顶点在函数 $y = \dfrac{x}{{1 + {x^2}}}$（$x > 0$）的图象上，求此矩形绕 $x$ 轴旋转而成的几何体的体积的最大值．
【难度】
【出处】
2003年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
$\dfrac{{\rm{\pi }}}{4}$
【解析】
设矩形的右上角的顶点为 $\left( {x,\dfrac{x}{{1 + {x^2}}}} \right)$，$x > 1$，则左上角的顶点为 $\left( {\dfrac{1}{x}, \dfrac{x}{{1 + {x^2}}}} \right)$．所以$$v\left( x \right) = {\rm{\pi }} \cdot {\left( {\dfrac{x}{{1 + {x^2}}}} \right)^2}\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right).$$令 $x - \dfrac{1}{x} = t$，则$$\dfrac{x}{{1 + {x^2}}} = \dfrac{1}{{x + \dfrac{1}{x}}} = \dfrac{1}{{\sqrt {{t^2} + 4} }},$$所以$$v = {\rm{\pi }} \cdot \dfrac{t}{{{t^2} + 4}} = {\rm{\pi }} \cdot \dfrac{1}{{t + \dfrac{4}{t}}} \leqslant \dfrac{{\rm{\pi }}}{4},$$当且仅当 $t = 2$ 时取得等号．此时 $x = \sqrt 2 + 1$，因此体积的最大值为 $\dfrac{{\rm{\pi }}}{4}$．
答案
解析
备注
