设 $f(x)=ax^3+bx+c$（$a,b,c$ 是实数），当 $0\leqslant x\leqslant 1$ 时，$0\leqslant f(x)\leqslant 1$，求 $b$ 的最大可能值．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
$\dfrac{3\sqrt 3}{2}$
【解析】
由$$\begin{cases}f(0)=c,\\f(1)=a+b+c,\\f\left(\sqrt{\dfrac 13}\right)=\dfrac {a}{3\sqrt 3}+\dfrac b{\sqrt 3}+c,\end{cases}$$可知$$2b=3\sqrt 3f\left(\sqrt{\dfrac 13}\right)-f(1)-(3\sqrt 3-1)f(0)\leqslant 3\sqrt 3.$$因为函数$$f(x)=\dfrac{3\sqrt 3}{2}(x-x^3)$$满足题设，此时 $b=\dfrac {3\sqrt 3}{2}$．
因此 $b$ 的最大可能值为 $\dfrac{3\sqrt 3}{2}$．
因此 $b$ 的最大可能值为 $\dfrac{3\sqrt 3}{2}$．
答案
解析
备注
