重置
序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21718 5a573ea2282a8800072c3b66 高中 解答题 自招竞赛 已知实数 $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 满足 $\displaystyle\sum_{i=1}^6a_i=2014$，试求\[\sum_{1\leqslant i<j\leqslant 6}[a_i+a_j]\]的最小值． 2022-04-17 20:33:11
21717 5a573f04282a8800072c3b6b 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数集合 $A=\{1,2,\cdots,100\}$，设 $f:A\to A$ 满足：对任意 $1\leqslant i\leqslant 99$，$|f(i)-f(i+1)|\leqslant 1$；对任意 $1\leqslant i\leqslant 100$，$f(f(i))=100$，求 $\displaystyle\sum_{i=1}^{100}f(i)$ 的最小值． 2022-04-17 20:33:11
21716 5a55ae6f4e28b0000a1d3d03 高中 解答题 自招竞赛 给定整数 $k>3$．证明：方程\[mn+nr+rm=k(m+n+r)\]至少有 $3k+3\left[\dfrac{k+4}3\right]+1$ 组整数解 $(m,n,r)$． 2022-04-17 20:32:11
21715 5a55ae454e28b0000a1d3cf9 高中 解答题 自招竞赛 设 $\triangle ABC$ 的垂心为 $H$，中点三角形的内切圆为 $\Gamma$．直线 $l\parallel AB$，$m\parallel AC$，且都与 $\Gamma$ 相切（$AB,l$ 和 $AC,m$ 分别在 $S$ 同侧），$l$ 与 $m$ 交于 $T$．射线 $AT$ 上一点 $N$ 满足 $AN=2AT$，$Q$ 是优弧 $BAC$ 的中点，点 $R$ 让四边形 $AHRQ$ 成为平行四边形．证明：$HR\perp RN$． 2022-04-17 20:31:11
21714 5a576228282a880008dcdaed 高中 解答题 高中习题 已知抛物线 $E:y^2=2px$（$p>0$）与圆 $O:x^2+y^2=8$ 相交于 $A,B$ 两点，且点 $A$ 的横坐标为 $2$，过劣弧 $AB$ 上动点 $P(x_0,y_0)$ 作圆 $O$ 的切线与与抛物线 $E$ 交于 $C,D$ 两点，分别以 $C,D$ 为切点作抛物线 $E$ 的切线 $l_1,l_2$，$l_1$ 与 $l_2$ 相交于点 $M$． 2022-04-17 20:31:11
21713 5a5800de282a8800072c3bb8 高中 解答题 自招竞赛 设 $-\dfrac {\pi}{2}\leqslant x \leqslant \dfrac {\pi}{2}$，且方程 $\cos 2x -4a \cos x -a+2=0$ 有两个不同的解，求 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 20:30:11
21712 5a5801ec282a880008dcdb09 高中 解答题 自招竞赛 设一圆和一等轴双曲线交于 $A_1$、$A_2$、$A_3$、$A_4$ 四点，其中 $A_1$ 和 $A_2$ 是圆的直径的一对端点． 2022-04-17 20:29:11
21711 5a580317282a880008dcdb0e 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=\dfrac 12$，$a_n=a_{n-1}+\dfrac {1}{n^2}a_{n-1}^2$．求证： 2022-04-17 20:28:11
21710 5a580487282a8800072c3bbd 高中 解答题 自招竞赛 如图，四边形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，$AB$、$DC$ 相交于点 $E$，$AD$、$BC$ 相交于点 $F$，对角线 $AC$、$BD$ 相交于点 $G$，$EP$ 切 $\odot O$ 于点 $P$，过点 $F$ 作 $\odot O$ 的切线，切点为 $M$、$N$．求证： 2022-04-17 20:28:11
21709 5a580bd7282a8800072c3be8 高中 解答题 自招竞赛 求实数 $a$ 的取值范围，使不等式$$\sin 2\theta-2\sqrt 2 \cos \left(\theta -\dfrac {\pi}{4}\right)-\dfrac {\sqrt 2 a}{\sin \left(\theta +\dfrac {\pi}{4}\right)}>-3-a^2$$对 $\theta \in \left[0,\dfrac {\pi}{2}\right]$ 恒成立． 2022-04-17 20:27:11
21708 5a580cd9282a8800072c3bee 高中 解答题 自招竞赛 过抛物线 $y^2=2x$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A$、$B$ 两点，抛物线在 $A$、$B$ 两点处的切线交于点 $E$． 2022-04-17 20:27:11
21707 5a580db1282a8800072c3bf4 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=|\sin x|$，$x \in \mathbb R$． 2022-04-17 20:26:11
21706 5a5816a81ccf88000838abe0 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=a$，$a_{n+1}=\dfrac {5a_n-8}{a_n-1}$（$n \in \mathbb N_+$）． 2022-04-17 20:25:11
21705 5a5818721ccf880007caa3a3 高中 解答题 自招竞赛 1993年，美国数学家F．Smarandache 提出许多数论问题，引起国内外相关学者的关注，其中之一便是著名的Smarandache 函数．正整数 $n$ 的Smarandache 函数定义为 $S(n)=\min \{m \mid m \in \mathbb N_+, n |m!\}$，比如：$S(2)=2$，$S(3)=3$，$S(6)=3$． 2022-04-17 20:25:11
21704 5a581aa01ccf880007caa3aa 高中 解答题 自招竞赛 如图，点 $A$ 与点 $A'$ 在 $x$ 轴上，且关于 $y$ 轴对称，过点 $A'$ 垂直于 $x$ 轴的直线与抛物线 $y^2=2x$ 交于两点 $B$、$C$，点 $D$ 为线段 $AB$ 上的动点，点 $E$ 在线段 $AC$ 上，满足 $\dfrac {|CE|}{|CA|}=\dfrac {|AD|}{|AB|}$． 2022-04-17 20:24:11
21703 5a5817e41ccf88000838abe6 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)={\rm e}^x-\ln x$ 的最小值为 $m$． 2022-04-17 20:24:11
21702 5a4debe3c0972c000bdd25db 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a_1=1$，$a_{n+1}=\left(1+\dfrac{1}{n^2+n}\right)a_n+\dfrac{1}{2^n}$． 2022-04-17 20:23:11
21701 5a4dec16c0972c000bdd25e0 高中 解答题 自招竞赛 $7$ 个人参加 $n$ 个小组，每个小组 $3$ 人，每两个小组最多共用 $1$ 人，求 $n$ 的最大值． 2022-04-17 20:23:11
21700 5a58335c1ccf88000838ac1e 高中 解答题 自招竞赛 已知四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA\perp ABCD$，$AB\perp AD$，$AD\perp CD$，$PA=AD=DC=2AB$，$M$ 为 $PC$ 中点． 2022-04-17 20:22:11
21699 5a4debaac0972c000a466da7 高中 解答题 自招竞赛 已知四棱锥 $P-ABCD$ 中，$PA\perp ABCD$，$AB\perp AD$，$AD\perp CD$，$PA=AD=DC=2AB$，$M$ 为 $PC$ 中点． 2022-04-17 20:22:11
0.154197s