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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21778 5a509213c0972c000a466e3d 高中 解答题 自招竞赛 求所有的连续函数 $f:\mathbb R^+\to \mathbb R^+$，使得对任意 $x,y>0$，$f\left(\dfrac {x+y}2\right)=f(\sqrt{xy})$． 2022-04-17 20:09:12
21777 5a509279c0972c000bdd2674 高中 解答题 自招竞赛 已知 $m,n\in\mathbb N^{\ast}$，$m<n$，证明：\[\sum_{i=0}^m\begin{pmatrix}n \\ i\end{pmatrix}<\left(\dfrac {3n}m\right)^m.\] 2022-04-17 20:08:12
21776 5a5092e4c0972c000a466e42 高中 解答题 自招竞赛 对有限实数集 $X$，记 $n(X)=|S|$，其中\[S=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\mid x_1+x_2=x_3+x_4,x_i\in X,i=1,2,3,4\}.\]证明：对于有限实数集 $A,B,C,D$，集合\[M=\{(a,b,c,d)\mid a+b=c+d,a\in A,b\in B,c\in C,d\in D\}\]的元素个数不超过 $\sqrt[4]{n(A)n(B)n(C)n(D)}$． 2022-04-17 20:07:12
21775 5a50937ac0972c000a466e49 高中 解答题 自招竞赛 已知 $x$ 是大于 $2$ 的实数，证明：若一个简单图 $G$ 中有不少于 $\dfrac{x(x-1)(x-2)}6$ 个三角形，则图 $G$ 的边数不小于 $\dfrac{x(x-1)}2$． 2022-04-17 20:07:12
21774 5a509128c0972c000bdd2663 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $p,q$ 满足 $1<q<p$，求证：对任意素数 $r>p$，存在正整数 $n$ 满足\[r\mid \begin{pmatrix} p^n \\ q^n\end{pmatrix}.\] 2022-04-17 20:06:12
21773 5a50905dc0972c000a466e32 高中 解答题 自招竞赛 实数 $x_i\ne 0$（$i=1,2,\cdots,n$）满足 $\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i=0$，求\[m=\left(\sum_{i=1}^nx_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n\dfrac{1}{x_i^2}\right)\]的最小值． 2022-04-17 20:05:12
21772 5a509017c0972c000bdd264e 高中 解答题 自招竞赛 求最小的 $\lambda$ 使得对一切满足 $a_i<2^i$ 的正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 都有\[\sum_{i,j=1}^n\{a_ia_j\}\leqslant \lambda\sum_{i=1}^n\{a_i\},\]其中 $\{x\}$ 表示 $x$ 的小数部分． 2022-04-17 20:05:12
21771 591129a6e020e70007fbe9e3 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，其前 $n$ 项和为 $S_n$，且对任意的 $m,n\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $(S_{m+n}+S_1)^2=4a_{2m}a_{2n}$． 2022-04-17 20:04:12
21770 5a56b10c996e5e00088c9086 高中 解答题 自招竞赛 已知 $x+y=1$，问：当实数 $x,y$ 为何值时，$(x^3+1)(y^3+1)$ 取得最大值． 2022-04-17 20:04:12
21769 5a56b2b4996e5e00088c9091 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $C :\dfrac {x^2}{4}+y^2=1$ 的上顶点为 $M$，下顶点为 $N$，$T(t,2)$（$t \neq 0$）为直线 $x=2$ 上一点，过点 $T$ 的直线 $TM$、$TN$ 分别与椭圆 $C$ 交于 $E$、$F$ 两点．若 $\triangle TMN$ 的面积是 $\triangle TEF$ 面积的 $k$ 倍，问：但 $t$ 为何值时，$k$ 取最大值． 2022-04-17 20:03:12
21768 5a56b328996e5e000773fd5d 高中 解答题 自招竞赛 如果对任意非负整数 $n$，$\cos (2^n\alpha)<-\dfrac 13$ 都成立，求实数 $\alpha$． 2022-04-17 20:03:12
21767 5a56b19f996e5e00088c908c 高中 解答题 自招竞赛 如图，$I$ 为 $\triangle ABC$ 的内心，$\triangle AIB$ 的外接圆圆心为 $O$，$CA$ 与圆 $O$ 交于点 $P$，$CB$ 与圆 $O$ 交于点 $Q$．证明：$AQ \parallel BP$． 2022-04-17 20:02:12
21766 5927db1f50ce840009d770a0 高中 解答题 高中习题 在数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 中，${a_1} = 1$，${a_{n + 1}} = c{a_n} + {c^{n + 1}}\left(2n + 1\right)\left(n \in {{\mathbb{N}}^ * }\right)$，其中实数 $c \ne 0$． 2022-04-17 20:01:12
21765 5a56bd2f996e5e000773fd74 高中 解答题 自招竞赛 求所有的正整数 $n$，使得集合 $M=\{1,2,\cdots, 4n\}$ 可以拆分成 $n$ 个四元子集：$$ M= \bigcup _{k=1}^{n}M_k,$$对于每个子集$$M_k=\{a_k,b_k,c_k ,d_k\} (k=1,2,\cdots ,n)$$中的 $a_k,b_k,c_k ,d_k$ 四个元素而言，其中的一个元素等于另外三个元素的算术平均． 2022-04-17 20:01:12
21764 59463c47a26d28000bb86eed 高中 解答题 高考真题 在数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 中，${a_1} = 1$，${a_{n + 1}} = c{a_n} + {c^{n + 1}}\left(2n + 1\right)\left(n \in {{\mathbb{N}}^ * }\right)$，其中实数 $c \ne 0$． 2022-04-17 20:00:12
21763 5a56bfe4996e5e00088c90c3 高中 解答题 自招竞赛 证明：有无穷多组正整数 $x$、$y$、$z$，满足：$$(x+y+z)^2+2(x+y+z)=5(xy+yz+zx).$$ 2022-04-17 20:00:12
21762 5a56bf8f996e5e00088c90bd 高中 解答题 自招竞赛 如图，$\triangle ABC$ 的内心为 $I$，过 $B$ 作 $l_B \perp CI$，过 $C$ 作 $l_C \perp BI$，$D$ 是 $l_B$、$l_C$ 的交点；若 $l_B \cap AC=N$，$l_C \cap AB=M$，线段 $BN$、$CM$ 的中点分别为 $E$、$F$．证明：$EF \perp AI$． 2022-04-17 20:59:11
21761 5a56ca16996e5e000773fda8 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n\}$ 中，$a_n=a\cdot 2^n+b\cdot n-80$，其中 $a,b \in \mathbb N_+$．已知当且仅当 $n=6$ 时此数列的前 $n$ 项之和 $S_n$ 取得最小值，且 $a_{36}$ 能被 $7$ 整除，求 $|a_1|+|a_2|+\cdots+|a_{12}|$ 的值． 2022-04-17 20:58:11
21760 5a56cacd996e5e00088c90ed 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=x-{\ln} x-2$，$g(x)=x{\ln}x+x$． 2022-04-17 20:58:11
21759 59477509a26d280009c98c6c 高中 解答题 高中习题 无穷数列 $P:a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots,$ 满足 $a_i\in\mathbb N^{\ast}$，且 $a_i\leqslant a_{i+1}$（$i\in\mathbb N^{\ast}$）．对于数列 $P$，记 $T_k(P)$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）表示集合 $\left\{n\left|a_n\geqslant k\right.\right\}$ 中最小的数． 2022-04-17 20:57:11
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