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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21758 5a56ccb6996e5e000773fdb2 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $E: x^2+4y^2=4$ 的左、右顶点分别为 $M$、$N$，过点 $P(-2,2)$ 作直线与椭圆 $E$ 交于 $A$、$B$ 两点，且 $A$、$B$ 位于第一象限，$A$ 在线段 $BP$ 上，直线 $OP$ 与直线 $NA$ 相交于 $C$ 点，连结 $MB$、$MC$、$AM$．直线 $AM$、$AC$、$MB$、$MC$ 的斜率分别记为 $k_{AM}$、$k_{AC}$、$k_{MB}$、$k_{MC}$．求证：$\dfrac {k_{MB}}{k_{AM}}=\dfrac {k_{AC}}{k_{MC}}$． 2022-04-17 20:57:11
21757 5a56ceaa996e5e000773fdb7 高中 解答题 自招竞赛 已知无穷数列 $\{x_n\}$、$\{y_n\}$：对任意正整数 $n$，$x_{n+1}=3x_n+2y_n$，$y_{n+1}=4x_n+3y_n$，且 $x_1=3$，$y_1=4$． 2022-04-17 20:56:11
21756 590ad9fd6cddca00078f39db 高中 解答题 高中习题 无穷数列 $P:a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots,$ 满足 $a_i\in\mathbb N^{\ast}$，且 $a_i\leqslant a_{i+1}$（$i\in\mathbb N^{\ast}$）．对于数列 $P$，记 $T_k(P)$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）表示集合 $\left\{n\left|a_n\geqslant k\right.\right\}$ 中最小的数． 2022-04-17 20:55:11
21755 5985df895ed01a000984943e 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n\geqslant 0$，$a_1=0$，且 $a_{n+1}^2+a_{n+1}-1=a_n^2$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），$S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，令$$T_n=\dfrac{1}{1+a_1}+\dfrac 1{(1+a_1)(1+a_2)}+\cdots +\dfrac{1}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_n)}.$$ 2022-04-17 20:55:11
21754 59084e7e060a05000980b0bc 高中 解答题 高中习题 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n\geqslant 0$，$a_1=0$，且 $a_{n+1}^2+a_{n+1}-1=a_n^2$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），$S_n$ 是数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，令$$T_n=\dfrac{1}{1+a_1}+\dfrac 1{(1+a_1)(1+a_2)}+\cdots +\dfrac{1}{(1+a_1)(1+a_2)\cdots (1+a_n)}.$$ 2022-04-17 20:54:11
21753 5a56fe6c06f8ce0009cd8402 高中 解答题 自招竞赛 实数 $x,y \in (1,+\infty)$，且 $xy-2x-y+1=0$，求 $\dfrac 32x^2+y^2$ 的最小值． 2022-04-17 20:54:11
21752 5a56ffa606f8ce0008729809 高中 解答题 自招竞赛 已知正实数列 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$，$\cdots$ 满足：
（1）$a_{n+1}=a_1^2\cdot a_2^2\cdots a_n^2-3$（$n \in \mathbb N_+$）；
（2）$\dfrac 12(a_1+\sqrt {a_2-1})\in \mathbb N_+$．
求证：$$\dfrac 12(a_1\cdot a_2\cdots a_n +\sqrt {a_{n+1}-1})\in \mathbb N_+$$		 2022-04-17 20:53:11
21751 5a57016206f8ce0009cd8407 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）经过点 $P\left(\dfrac {\sqrt 6}{2},\dfrac 12 \right)$，离心率为 $\dfrac {\sqrt 2}{2}$，动点 $M(2,t)$（$t>0$）． 2022-04-17 20:53:11
21750 5a5701f606f8ce000872980e 高中 解答题 自招竞赛 求最大的正整数 $n$，将正整数 $1$ 到 $400$ 任意填入 $20\times 20$ 的 $400$ 个方格中，则总有一行或一列，其中两个数之差不小于 $n$． 2022-04-17 20:52:11
21749 5a57122306f8ce0009cd843a 高中 解答题 自招竞赛 若数列 $\{a_n\}$ 中的相邻两项 $a_n$、$a_{n+1}$ 是关于 $x$ 的方程$$x^2-nx+c_n=0 (n =1,2,3,\cdots)$$的两个实根，且 $a_1=1$． 2022-04-17 20:52:11
21748 5a57132e06f8ce0008729822 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $C:\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）过点 $P(-2,1)$，且离心率为 $\dfrac {\sqrt 2}{2}$．过点 $P$ 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 $A$、$B$ 两点（$A$、$B$ 与点 $P$ 不重合）．
求证：直线 $AB$ 过定点，并求该定点的坐标．		 2022-04-17 20:51:11
21747 5a5714f806f8ce0009cd8444 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a>0$，$f(x)={\ln}(2x+1)+2ax-4a{\mathrm e}^x+4$． 2022-04-17 20:50:11
21746 5a5715e206f8ce0009cd8449 高中 解答题 自招竞赛 设 $a_1$、$a_2$、$a_3$、$a_4$、$a_5$ 是 $5$ 个正实数（可以相等）．证明：一定存在互不相同的下标 $i$、$j$、$k$、$l$，使得 $\left|\dfrac {a_i}{a_j}-\dfrac {a_k}{a_l}\right|<\dfrac 12$． 2022-04-17 20:50:11
21745 5a57145706f8ce0009cd843f 高中 解答题 自招竞赛 如图，$PA$、$PBC$ 分别是圆 $O$ 的切线和割线，其中 $A$ 为切点，$M$ 为切线 $PA$ 的中点，弦 $AD$、$BC$ 相交于点 $E$，弦 $AB$ 延长线上的点 $F$，满足 $\angle FBD=\angle FED$．
求证：$P$、$F$、$D$ 三点共线的充分必要条件是 $M$、$B$、$D$ 三点共线．		 2022-04-17 20:49:11
21744 5a57214b282a8800072c3b15 高中 解答题 自招竞赛 设 $P=\{1^2,2^2,3^2,\cdots\}$ 是由全体正整数的平方所构成的集合，如果数 $n$ 能够表示为集合 $P$ 中若干个（至少一个）互异元素的代数和，则称数 $n$ 具有 $P$ 结构．证明：每个自然数 $n$ 都具有 $P$ 结构． 2022-04-17 20:49:11
21743 5a5721bf282a880008dcdab2 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=4\sin^3x\cdot \cos x-2\sin x\cdot\cos x-\dfrac 12\cos 4x$． 2022-04-17 20:48:11
21742 5a57229f282a8800072c3b1a 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(x)=(2x^2-4ax)\ln x+x^2$． 2022-04-17 20:48:11
21741 5a5722a7282a8800072c3b1f 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ 满足：$a_1=b_1=1$，$a_{n+1}=a_n+2b_n$，$b_{n+1}=a_n+b_n$（$n \geqslant 1$）．证明： 2022-04-17 20:47:11
21740 5a57235d282a880008dcdab7 高中 解答题 自招竞赛 若小于 $2017$ 的三个互异正整数 $a$、$b$、$c$ 使得 $a^3-b^3$、$b^3-c^3$、$c^3-a^3$ 均是 $2017$ 的倍数．证明：$a^2+b^2+c^2$ 必是 $a+b+c$ 的倍数． 2022-04-17 20:46:11
21739 5a57241e282a880008dcdabc 高中 解答题 自招竞赛 袋中有若干均匀硬币，其中一部分是普通硬币，其余的两面均为正面，已知普通硬币占总硬币的比例为 $\theta$（$0<\theta<1$）．从袋中任取一枚硬币，在不查看它属于哪种硬币的前提下，将其独立地连掷两次． 2022-04-17 20:46:11
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