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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21658 5a5bff781ccf88000838adb2 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知 $PA$ 是 $\odot O$ 的切线，$A$ 是切点，直线 $PO$ 交 $\odot O$ 于 $B$、$C$ 两点，$D$ 是 $OC$ 的中点，连结 $AD$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $E$，若 $PA=2\sqrt 3$，$\angle APB=30^{\circ}$． 2022-04-17 20:58:10
21657 5a5c01d01ccf88000838adb7 高中 解答题 自招竞赛 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，$AB=AC=5$，$D$、$E$ 分别为 $BC$、$BB_1$ 的中点，四边形 $B_1BCC_1$ 是边长为 $6$ 的正方形． 2022-04-17 20:58:10
21656 5a5c034d1ccf880007caa517 高中 解答题 自招竞赛 某单位甲、乙两个科室人数及男女工作人员分布情况如下表．现采用分层抽样的方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两个科室中共抽取 $3$ 名工作人员进行一项关于“低碳生活”的调查． 2022-04-17 20:57:10
21655 5a5c05191ccf880007caa51c 高中 解答题 自招竞赛 已知抛物线 $G$ 的顶点在原点，焦点在 $y$ 轴正半轴上，点 $P(m,4)$ 到其准线的距离等于 $5$． 2022-04-17 20:57:10
21654 5a5c159f1ccf88000838adef 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_n=\dfrac {2^n}{2^{2^n}+1}$（$n \in \mathbb N_+$），记$$A_n=\sum \limits_{i=1}^{n}a_i, B_n= \prod \limits_{i=1}^{n}a_i.$$求证：$3A_n+B_n\cdot 2^{\frac {(1+n)(2-n)}{2}}$ 为定值． 2022-04-17 20:56:10
21653 5a5c17ca1ccf88000838adf4 高中 解答题 自招竞赛 设 $f(x)$、$g(x)$ 分别是定义在 $\mathbb R$ 上的奇函数、偶函数，且 $f(x)+g(x)=2^x$．若对 $x \in \left[\dfrac 12,2\right]$，不等式 $af(x)-f(3x) \leqslant 2g(2x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 20:55:10
21652 5a5c162c1ccf880007caa562 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点在椭圆 $ \dfrac {x^2}{12}+\dfrac {y^2}{4}=1$ 上，坐标原点 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的重心．试求 $\triangle ABC$ 的面积． 2022-04-17 20:55:10
21651 5a5c40f11ccf88000838ae10 高中 解答题 自招竞赛 设 $0<x<\dfrac {\pi}{2}$，证明：$$0<\dfrac {x-\sin x}{\tan x -\sin x}<\dfrac 13.$$ 2022-04-17 20:55:10
21650 5a5c41641ccf88000838ae15 高中 解答题 自招竞赛 设 $x,y \in [0,1]$，求$$f(x,y)=\sqrt {\dfrac {1+xy}{1+x^2}}+\sqrt {\dfrac {1-xy}{1+y^2}}$$的取值范围． 2022-04-17 20:54:10
21649 5a5c42771ccf88000838ae1a 高中 解答题 自招竞赛 设数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$、$\{c_n\}$ 满足$$a_{n+1}=|b_n-c_n|,b_{n+1}=|c_n-a_n|, c_{n+1}=|a_n-b_n|,n \in\mathbb N.$$证明：对于任意正整数 $a_1$、$b_1$、$c_1$，存在正整数 $k$，使得 $a_{k+1}=a_k$，$b_{k+1}=b_k$，$c_{k+1}=c_k$． 2022-04-17 20:53:10
21648 5a5c40a71ccf880007caa5a6 高中 解答题 自招竞赛 如图，设 $H$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心，$D$ 在 $AC$ 上，且满足 $HA=HD$，四边形 $ABEH$ 是平行四边形．证明：$B$、$C$、$D$、$E$、$H$ 五点共圆． 2022-04-17 20:52:10
21647 5a5c49611ccf88000838ae36 高中 解答题 自招竞赛 设直线 $l:y=x+b$ 与 $C:\dfrac {x^2}{25}+\dfrac {y^2}{9}=1$ 不相交．过直线 $l$ 上的点 $P$ 作椭圆 $C$ 的切线 $PM$、$PN$，切点分别为 $M$、$N$，连结 $MN$． 2022-04-17 20:52:10
21646 5a5c4a711ccf880007caa5cc 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=\dfrac {16x+7}{4x+4}$，数列 $\{a_n\}$、$\{b_n\}$ 满足：$a_1>0$，$b_1>0$，$a_n=f(a_{n-1})$，$b_n=f(b_{n-1})$，$n=2,3,\cdots$． 2022-04-17 20:51:10
21645 5a5c51df1ccf880007caa5f5 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足条件：$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，$n \in \mathbb N_+$． 2022-04-17 20:51:10
21644 5a5c52501ccf880007caa5fa 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(x)=4x^3+bx+1$（$b\in \mathbb R$），对任意的 $x \in [-1,1]$，都有 $f(x)\geqslant 0$ 成立，求实数 $b$ 的取值范围． 2022-04-17 20:51:10
21643 5a5c54501ccf88000838ae4f 高中 解答题 自招竞赛 已知抛物线 $C: y=\dfrac 12x^2$ 与直线 $L:y=kx-1$ 没有公共点．设点 $P$ 为直线 $L$ 上的动点，过 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线，$A$、$B$ 为切点． 2022-04-17 20:50:10
21642 5a5c53131ccf88000838ae4a 高中 解答题 自招竞赛 如图所示，已知圆内接四边形 $ABCD$ 中，$AC$ 和 $BD$ 相交于 $P$ 点，满足 $\dfrac {AB}{AD}=\dfrac {CB}{CD}$．设 $E$ 为 $AC$ 的中点，求证：$\dfrac {BE}{ED}=\dfrac {BP}{PD}$． 2022-04-17 20:49:10
21641 5a5c5d7f1ccf880007caa61f 高中 解答题 高中习题 已知 $M,N$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的长轴上的两个定点，椭圆的弦 $AB$ 恒过点 $M$，直线 $AN,BN$ 分别与椭圆 $E$ 交于不同于 $A,B$ 的点 $C,D$，求证：直线 $CD$ 的斜率与直线 $AB$ 的斜率之比为定值． 2022-04-17 20:49:10
21640 597e9a4ed05b9000091651a2 高中 解答题 高中习题 已知 $M,N$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的长轴上的两个定点，椭圆的弦 $AB$ 恒过点 $M$，直线 $AN,BN$ 分别与椭圆 $E$ 交于不同于 $A,B$ 的点 $C,D$，求证：直线 $CD$ 的斜率与直线 $AB$ 的斜率之比为定值． 2022-04-17 20:48:10
21639 5a5d483e45934c000721c7a8 高中 解答题 自招竞赛 设 $f_1(x)=\sqrt {x^2+32}$，$f_{n+1}(x)=\sqrt {x^2+\dfrac {16}{3}f_n(x)}$，$n=1,2,\cdots$．对每个 $n$，求 $f_{n}(x)=3x$ 的实数解． 2022-04-17 20:47:10
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