已知抛物线 $E:y^2=2px$（$p>0$）与圆 $O:x^2+y^2=8$ 相交于 $A,B$ 两点，且点 $A$ 的横坐标为 $2$，过劣弧 $AB$ 上动点 $P(x_0,y_0)$ 作圆 $O$ 的切线与与抛物线 $E$ 交于 $C,D$ 两点，分别以 $C,D$ 为切点作抛物线 $E$ 的切线 $l_1,l_2$，$l_1$ 与 $l_2$ 相交于点 $M$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求抛物线 $E$ 的方程；标注答案$y^2=2x$解析根据题意，不妨设 $A(2,2)$，$B(2,-2)$，于是 $p=1$，从而抛物线的方程为\[y^2=2x.\]
-
求 $M$ 点的轨迹方程，并求点 $M$ 到直线 $CD$ 距离的取值范围．标注答案$\dfrac{x^2}{8}-y^2=1,x\in \left[-4,-2\sqrt 2\right]$；$\left[4\sqrt 2,\dfrac{9\sqrt 2}2\right]$解析根据题意，有圆的切线 $CD$ 的方程为\[x_0x+y_0y=8,\]其中 $x_0\in \left[2,2\sqrt 2\right]$，且 $x_0^2+y_0^2=2$．设 $M(m,n)$，则\[CD:ny=x+m,\]于是\[\begin{cases} m=-\dfrac{8}{x_0},\\
n=-\dfrac{y_0}{x_0},\end{cases}\]因此有\[\begin{cases} x_0=-\dfrac 8m,\\
y_0=\dfrac{8n}m,\end{cases}\]从而\[\left(-\dfrac 8m\right)^2+\left(\dfrac{8n}m\right)^2=8,\]因此点 $M$ 的轨迹方程为\[\dfrac{x^2}{8}-y^2=1,x\in \left[-4,-2\sqrt 2\right].\]点 $M$ 到直线 $CD$ 的距离\[\begin{split} d&=\dfrac{\left| x_0\cdot \left(-\dfrac{8}{x_0}\right)+y_0\cdot \left(-\dfrac{y_0}{x_0}\right)-8\right|}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}\\
&=\dfrac{y_0^2}{2\sqrt 2x_0}+4\sqrt 2\\
&=\dfrac{2\sqrt 2}{x_0}-\dfrac{x_0}{2\sqrt 2}+4\sqrt 2,\end{split}\]因此 $d$ 随着 $x_0$ 的增大而单调递减，其取值范围是 $\left[4\sqrt 2,\dfrac{9\sqrt 2}2\right]$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
