题目 已知函数 $f(x)={\rm e}^x-\ln x$ 的最小值为 $m$． 问题1 已知 $f(x)$ 的导函数为 $f'(x)$，求证：$f'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增； 答案1 略 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)={\rm e}^x-\dfrac 1x,\]因此 $f'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增． 备注1 问题2 求证：$m>2$； 答案2 $0$ 解析2 由于 $f'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增且\[\begin{split} f'\left(\dfrac 12\right)&=\sqrt{\rm e}-2<0,\\<br/>f(1)&={\rm e}-1>0,\end{split}\]因此函数 $f'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有唯一零点，记为 $x_0$，且有\[{\rm e}^{x_0}-\dfrac{1}{x_0}=0,\]于是\[{\rm e}^{x_0}=\dfrac{1}{x_0},\ln x_0=-x_0,\]因此\[m=f(x_0)={\rm e}^{x_0}-\ln x_0=\dfrac{1}{x_0}+x_0>2,\]命题得证． 备注2 问题3 求函数 $g(x)={\rm e}^x-{\rm e}^m\ln x$ 的最小值． 答案3 略 解析3 函数 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)={\rm e}^x-\dfrac{{\rm e}^m}{x},\]该函数单调递增，且\[\begin{split} g'(1)&={\rm e}-{\rm e}^m<0,\\ g'(m)&={\rm e}^m-\dfrac {{\rm e}^m}{m}>0,\end{split}\]因此函数 $g'(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有唯一零点，记为 $x_1$，且有\[{\rm e}^{x_1}-\dfrac{{\rm e}^m}{x_1}=0,\]于是\[{\rm e}^{x_1}=\dfrac{{\rm e}^m}{x_1},\ln x_1=m-x_1,\]这样就有\[m=x_1+\ln x_1=\dfrac{1}{x_0}+\ln\dfrac{1}{x_0},\]考虑到函数 $y=x+\ln x$ 单调递增，因此\[x_1=\dfrac{1}{x_0},\]从而\[m=\dfrac{1}{x_0}+x_0=x_1+\dfrac{1}{x_1},\]因此函数 $g(x)$ 的最小值\[\begin{split} g(x_1)&={\rm e}^{x_1}-{\rm e}^m\ln x_1\\<br/>&=\dfrac{{\rm e}^m}{x_1}-{\rm e}^m(m-x_1)\\<br/>&={\rm e}^m\left(\dfrac 1{x_1}-m+x_1\right)\\<br/>&=0.\end{split}\] 备注3