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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21738 5a5724b4282a880008dcdac1 高中 解答题 自招竞赛 已知椭圆 $L:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$，$F_1,F_2$ 分别为椭圆 $L$ 的左、右焦点，点 $\left(1,\dfrac{\sqrt 2}2\right)$ 在椭圆 $L$ 上．设 $A$ 为椭圆 $L$ 上的一个动点，弦 $AB,AC$ 分别过焦点 $F_1,F_2$，且 $\overrightarrow{AF_1}=\lambda_1\overrightarrow{F_1B}$，$\overrightarrow{AF_2}=\lambda_2\overrightarrow{F_2C}$． 2022-04-17 20:45:11
21737 5a572564282a8800072c3b24 高中 解答题 自招竞赛 如图，$\odot O_1$、$\odot O_2$ 相交于 $A$、$B$ 两点，$CD$ 是经过点 $A$ 的一条线段，其中点 $C$、$D$ 分别在 $\odot O_1$、$\odot O_2$ 上，过线段 $CD$ 上异于端点的任意一点 $K$，作 $KM \parallel BD$，$KN \parallel BC$，点 $M$、$N$ 分别在 $BC$、$BD$ 上，又向 $\triangle BCD$ 形外方向，作 $ME \perp BC$，$NF \perp BD$，其中 $E$ 在 $\odot O_1$ 上，$F$ 在 $\odot O_2$ 上．
证明：$KE \perp KF$．		 2022-04-17 20:45:11
21736 5a573197282a8800072c3b2f 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_n>0$，$a_n+a_n^2+\cdots+a_n^n=\dfrac 12$（$n=1,2,\cdots$）． 2022-04-17 20:44:11
21735 5a5734a2282a8800072c3b34 高中 解答题 自招竞赛 已知集合 $S_n=\{X\mid X=(x_1,x_2,\cdots,x_n),x_i\in \{0,1\},i=1,2,\cdots,n\}$（$n\geqslant 2$）．对于\[A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\in S_n,B=(b_1,b_2,\cdots,b_n)\in S_n,\]定义 $A$ 与 $B$ 的差为\[A-B=\left(|a_1-b_1|,|a_2-b_2|,\cdots,|a_n-b_n|\right),\]$A$ 与 $B$ 之间的距离为\[d(A,B)=\sum_{i=1}^n|a_i-b_i|.\] 2022-04-17 20:44:11
21734 5a560a22996e5e00088c9060 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n$．设实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 满足\[\forall i\ne j,|x_i-x_j|\geqslant 1.\]证明：所有 $n^3$ 个表达式 $x_ix_j+x_k$（其中 $1\leqslant i,j,k\leqslant n$）至少能取到 $\dfrac{n(n-1)}2$ 个不同的值． 2022-04-17 20:43:11
21733 5a560af4996e5e000773fd31 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n$，称集合 $\{1,2,\cdots,n\}$ 的子集族 $\mathcal D$ 是“向下封闭”的，如果它满足如下条件：如果 $A$ 是子集族 $\mathcal D$ 的成员，$B$ 是 $A$ 的子集，则 $B$ 也是 $\mathcal D$ 的成员．对于“向下封闭”的子集族 $\mathcal D$，求表达式\[\sum_{A\in\mathcal D}(-1)^{|A|}\]所能取到的最大值．这里 $|A|$ 表示集合 $A$ 的元素个数（约定 $|\varnothing|=0$），$\sum_{A\in\mathcal D}$ 表示对子集族 $\mathcal D$ 的所有成员 $A$ 求和． 2022-04-17 20:42:11
21732 5a560a41996e5e000773fd2c 高中 解答题 自招竞赛 设 $a,b,n$ 与 $\dfrac{n!}{a!\cdot b!}$ 都是正整数．证明：\[a+b\leqslant n+2+2{\log_2}n.\] 2022-04-17 20:41:11
21731 5a560b51996e5e00088c9065 高中 解答题 自招竞赛 设 $p>5$ 是素数且 $p\equiv 1\pmod 4$，对于整数 $a$，如果存在整数 $x$ 使得\[x^2\equiv a\pmod p,\]则称 $a$ 是“模 $p$ 二次剩余的”．证明：对每个整数 $a$，存在整数 $b,c$ 使得 $a=b+c$，且 $b,c$ 都不是“模 $p$ 二次剩余的”． 2022-04-17 20:40:11
21730 5a560973996e5e000773fd27 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n$．设实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$；$x_1,x_2,\cdots,x_n$；$y_1,y_2,\cdots,y_n$ 满足对任意 $i=1,2,\cdots,n$，都有\[a\leqslant a_i\leqslant b,\sum_{i=1}^nx_i^2=\sum_{i=1}^ny_i^2=1.\]求证：\[\left|\sum_{i=1}^na_ix_i^2-\sum_{i=1}^na_iy_i^2\right|\leqslant (b-a)\sqrt{1-\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)^2}.\] 2022-04-17 20:40:11
21729 5a5609d1996e5e00088c905b 高中 解答题 自招竞赛 设凸五边形 $A_1A_2A_3A_4A_5$ 的面积为 $S$，$\triangle A_5A_1A_2,\triangle A_1A_2A_3,\triangle A_2A_3A_4,\triangle A_3A_4A_5,\triangle A_4A_5A_1$ 的面积分别为 $S_1,S_2,S_3,S_4,S_5$．证明：\[S_1+S_2+S_3+S_4+S_5>S.\] 2022-04-17 20:39:11
21728 5a573878282a8800072c3b3f 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n$ 和正实数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$．如果对任意 $1\leqslant k\leqslant n$，均有 $a_1a_2\cdots a_k\geqslant k!$，求证：\[\dfrac{2!}{1+a_1}+\dfrac{3!}{(1+a_1)(2+a_2)}+\dfrac{4!}{(1+a_1)(2+a_2)(3+a_3)}+\cdots+\dfrac{(n+1)!}{(1+a_1)(2+a_2)\cdots (n+a_n)}<3.\] 2022-04-17 20:39:11
21727 5a5738af282a8800072c3b44 高中 解答题 自招竞赛 如图，已知 $\triangle ABC$ 的内切圆 $I$ 与三边分别切于 $D,E,F$，连接 $BE,CF$ 交于点 $P$，延长 $DF$ 交直线 $CA$ 于 $N$．求证：$PI\perp MN$． 2022-04-17 20:39:11
21726 5a57390d282a8800072c3b49 高中 解答题 自招竞赛 数列 $\{a_n\}$ 满足：$x_1\in\mathbb R^+$，$x_{n+1}=\sqrt 5x_n+2\sqrt{x_n^2+1}$（$n=1,2,\cdots,$）．试问：在 $x_1,x_2,\cdots,x_{2016}$ 中，至少有多少个无理数？ 2022-04-17 20:38:11
21725 5a573996282a8800072c3b4e 高中 解答题 自招竞赛 现有 $20$ 个砝码（质量允许相同），可以用它们称出质量为 $1$ 克、$2$ 克、$\cdots\cdots$、$2017$ 克的物体．在满足下列条件时，试求最重的砝码的最小可能质量（注：称量时砝码只能发在天平左盘）： 2022-04-17 20:37:11
21724 5a573dd6282a8800072c3b5c 高中 解答题 自招竞赛 给定正实数 $c$． 2022-04-17 20:37:11
21723 5a573d73282a8800072c3b57 高中 解答题 自招竞赛 将 $99\times 101$ 的方格表中若干个小方格涂黑，其余方格为白色，要使得每个黑格至多和一个黑格相邻，最多能涂黑多少个小方格？（注：两个方格有公共边称为相邻） 2022-04-17 20:37:11
21722 5a573d31282a880008dcdad8 高中 解答题 自招竞赛 如图，四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC,BD$ 相交于 $E$，$\triangle ABE,\triangle BCE,\triangle CDE$ 和 $\triangle DAE$ 的内心依次为 $P,Q,R,S$，分别以 $PS,QR$ 为直径作圆，两圆的根轴恰为直线 $BD$．求证：四边形 $ABCD$ 为圆外切四边形． 2022-04-17 20:36:11
21721 5a573ce0282a880008dcdad3 高中 解答题 自招竞赛 卡塔兰数是组合数学中一类经常出现的数列，它的通项公式为 $c_n=\dfrac{1}{n+1}{\rm C}_{2n}^n$．现定义数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n=\dfrac{c_n}{4^n}$．试求 $\displaystyle \lim\limits_{n\to +\infty}\sum\limits_{i=1}^na_i$ 的值． 2022-04-17 20:35:11
21720 5a573f4d282a8800072c3b70 高中 解答题 自招竞赛 如图，$\triangle ABC$ 的内切圆切三边于 $L,M,N$，圆内有一点 $P$，线段 $AP,BP,CP$ 分别交内切圆于 $X,Y,Z$，过 $X,Y,Z$ 分别作内切圆的切线，两两交于 $D,E,F$，求证： 2022-04-17 20:34:11
21719 5a573f91282a8800072c3b75 高中 解答题 自招竞赛 在正方形的边界和内部给出若干个点，以这些点和原正方形的顶点为顶点将正方形划分为若干个小三角形（不允许出现一个小三角形的顶点在另一个小三角形的边上），在所有的这些三角形中，求最大内角的最小值． 2022-04-17 20:34:11
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