题目 已知 $a_1=1$，$a_{n+1}=\left(1+\dfrac{1}{n^2+n}\right)a_n+\dfrac{1}{2^n}$． 问题1 求证：$n\geqslant 2$ 时，$a_n\geqslant 2$； 答案1 略 解析1 显然 $a_n>0$，由于\[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1+\dfrac{1}{n^2+n}+\dfrac{1}{2^n\cdot a_n}>1,\]于是 $\{a_n\}$ 单调递增，因此当 $n\geqslant 2$ 时，有\[a_n\geqslant a_2=2.\] 备注1 问题2 求证：$n\geqslant 1$ 时，$a_n\leqslant {\rm e}^2$． 答案2 略 解析2 根据第 $(1)$ 小题的结果，当 $n\geqslant 2$ 时，有\[\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\leqslant 1+\dfrac1{n^2+n}+\dfrac{1}{2^{n+1}},\]于是\[\dfrac{a_{n+1}}{a_2}\leqslant \prod_{k=2}^n\left(1+\dfrac{1}{k^2+k}+\dfrac{1}{2^{k+1}}\right),\]根据伯努利不等式的补充不等式，有\[\prod_{k=2}^n\left(1+\dfrac{1}{k^2+k}+\dfrac{1}{2^{k+1}}\right)\leqslant {\rm e}^{\sum\limits_{k=2}^n\left(\frac{1}{k^2+k}+\frac{1}{2^{k+1}}\right)}<{\rm e}^{\frac 34},\]于是当 $n\geqslant 2$ 时，有\[a_n< a_{n+1}<2{\rm e}^{\frac 34}<{\rm e}^2,\]原命题得证． 备注2