题目 无穷数列 $P:a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots,$ 满足 $a_i\in\mathbb N^{\ast}$，且 $a_i\leqslant a_{i+1}$（$i\in\mathbb N^{\ast}$）．对于数列 $P$，记 $T_k(P)$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）表示集合 $\left\{n\left|a_n\geqslant k\right.\right\}$ 中最小的数． 问题1 若数列 $P:1,3,4,7,\cdots$，写出 $T_1(P),T_2(P),\cdots,T_5(P)$； 答案1 $1,2,2,3,4$ 解析1 由题意可直接写出，依次为 $1,2,2,3,4$． 备注1 问题2 若 $T_k(P)=2k-1$，求数列 $P$ 的前 $n$ 项和； 答案2 $\left[\dfrac {(n+1)^{2}}{4}\right]$ 解析2 数列 $P$：$1,1,2,2,3,3,\cdots$，所以数列 $P$ 的前 $n$ 项和为 $\left[\dfrac {(n+1)^{2}}{4}\right]$； 备注2 问题3 已知 $a_{20}=46$，求 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{20}{a_i}+\sum\limits_{j=1}^{46}{T_j(P)}$ 的值． 答案3 $ 966 $ 解析3 以 $P:1,3,4,5,\cdots,45,46$ 为例，将 $a_i$（$i=1,2,\cdots,20$）用红色格子的数目表示，如图．那么 $T_j(P)$（$j=1,2,\cdots,46$）的几何意义是高度小于 $j$ 的红色柱子的数目（将表示数列中的项的若干红色格子看成红色柱子），也就是从下往上第 $j$ 行的绿色格子数．<img src="/static/images/5bfb473e6cc8e7e85a70a2539cf27052.png" class="img-responsive" />这样就可以得到 $a_1+a_2+\cdots+a_{19}+a_{20}$ 的几何意义为图中所有的红色格子按列从左向右求和，而 $T_1(P)+T_2(P)+\cdots+T_{45}(P)+T_{46}(P)$ 的几何意义为图中所有的绿色格子按行从下向上求和，因此所求的和式值为 $(1+20)\times 46=966$． 备注3 一般地，若 $a_n=m$，那么$$\sum_{i=1}^{n}a_i+\sum_{j=1}^{46}{T_j(P)}=m(n+1).$$