题目 在数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 中，${a_1} = 1$，${a_{n + 1}} = c{a_n} + {c^{n + 1}}\left(2n + 1\right)\left(n \in {{\mathbb{N}}^ * }\right)$，其中实数 $c \ne 0$． 问题1 求 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式； 答案1 ${a_n} = \left({n^2} - 1\right){c^n} + {c^{n - 1}} , n \in {{\mathbb{N}}^ * }$ 解析1 根据题意，有$$\dfrac{a_{n+1}}{c^{n+1}}=\dfrac{a_n}{c^n}+2n+1,$$于是可求得 $\dfrac{a_n}{c^n}=n^2-1+\dfrac 1c$，进而可得$$a_n=\left(n^2-1\right)c^n+c^{n-1},n\in\mathbb N^{\ast}.$$ 备注1 问题2 若对一切 $k \in {{\mathbb{N}}^ * }$ 有 ${a_{2k}} > {a_{2k - 1}}$，求 $c$ 的取值范围． 答案2 $\left(-\infty,-\dfrac{1+\sqrt{13}}{6}\right)\cup [1,+\infty)$ 解析2 题意即题意即$$\forall k\in\mathbb N^{\ast},4\left(c^2-c\right)k^2+4ck-c^2+c-1>0,$$记 $f(x)=4(c^2-c)x^2+4cx-c^2+x-1$，对称轴为 $x=-\dfrac 1{2(x-1)}$，先探究必要条件：<br/>令 $k=1$ 得$$f(1)=3c^2+c-1>0,$$解得 $c>\dfrac {-1+\sqrt{13}}{2}$ 或 $c<-\dfrac {1+\sqrt{13}}{2}$；<br/>又 $c^2-c\geqslant 0$，解得 $c\geqslant 1$ 或 $c\leqslant 0$，对 $c=0,1$ 分别验证知 $c\geqslant 1$ 或 $c<0$．<br/>于是有 $c<-\dfrac {1+\sqrt{13}}{2}$ 或 $c\geqslant 1$，下面证明当 $c$ 在这个范围内时，不等式恒成立：<br/>当 $c\geqslant 1$ 时，$f(x)$ 的对称轴 $x=-\dfrac 1{2(c-1)}<0$，所以 $f(1)>0$ 可以保证当 $x\geqslant 1$ 时，$f(x)>0$；<br/>当 $c<-\dfrac {1+\sqrt{13}}{2}$ 时，$f(x)$ 的对称轴 $x=-\dfrac 1{2(c-1)}<\dfrac 12$，所以 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，从而 $f(1)>0$ 可以保证当 $x\geqslant 1$ 时，$f(x)>0$；<br/>综上知 $c$ 的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac{1+\sqrt{13}}6\right)\cup\left[1,+\infty\right)$． 备注2 含参的不等式问题中，变换主元、分离参数以及端点分析都是常用的方法．<br/>每日一题[708]含参不等式的处理．