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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21798 5a55aef44e28b00009176a9c 高中 解答题 自招竞赛 确定全部 $f\in\mathbb Z[x]$（$\deg f \leqslant 2$），使存在 $g\in\mathbb Z[x]$，满足\[x^3-1\mid f(x)g(x)-1.\] 2022-04-17 20:21:12
21797 5a55af724e28b0000a1d3d0a 高中 解答题 自招竞赛 如图，直角梯形 $ABCD$ 中，$AD \perp CD$，以 $A$ 为圆心 $AD$ 为半径的圆与以 $B$ 为圆心 $BC$ 为半径的圆交于 $E$、$F$ 两点，$\odot O$ 与 $\odot A$ 和 $\odot B$ 均内切，切点分别为 $G$，$H$．求证：$GD$、$EF$、$HC$ 三线共点． 2022-04-17 20:20:12
21796 5a508dfac0972c000bdd263d 高中 解答题 自招竞赛 已知锐角三角形 $ABC$ 的外心为 $O$，$BO\cap BC=F$，$CO\cap AB=E$，$EF$ 的中垂线交 $BC$ 于 $D$，$DE\cap BF=M$，$DF\cap CE=N$．若 $EM,FN$ 的垂直平分线交 $EF$ 上一点 $K$，求证：$\angle BAC=60^\circ$． 2022-04-17 20:19:12
21795 597e9054d05b90000addb2d6 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$ 的左、右顶点分别为 $A_{1},A_{2}$，$F_{2}$ 为椭圆 $C$ 的右焦点．若点 $P$ 是椭圆 $C$ 上异于 $A_{1},A_{2}$ 的任意一点，直线 $A_{1}P,A_{2}P$ 与直线 $x=4$ 分别交于 $M,N$ 两点，证明：以 $MN$ 为直径的圆与直线 $PF_{2}$ 相切于点 $F_{2}$． 2022-04-17 20:18:12
21794 590ad6926cddca000a081a63 高中 解答题 高中习题 一个圆环形花坛，分为 $5$ 个区域（如图所示），每个区域种植一种花卉，有 $4$ 种不同颜色供选，要求相邻区域种植的花卉颜色不同，求不同的花卉种植方法数． 2022-04-17 20:18:12
21793 5a1e62b3feda7400083f725b 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=\left(x^2-x-1\right){\rm e}^x$． 2022-04-17 20:17:12
21792 5a55f2e94e28b00009176ab9 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 为奇素数，$p\equiv 1\pmod 4$．正整数 $a,b$ 满足 $a^2-pb^2=1$．设 $q$ 也为奇素数，$(q,bp)=1$，考虑同余方程 $x^4-2ax^2+1\equiv 0\pmod q$．证明下列 $3$ 个论述等价：
① $p$ 为模 $q$ 的二次剩余；
② 同余方程存在一个解；
③ 同余方程存在四个互不相同的解．		 2022-04-17 20:16:12
21791 5a55f3ef4e28b0000a1d3d31 高中 解答题 自招竞赛 对 $(0,1)$ 中的实数，如果两个数的十进制表示中只有一位不同，则称这两个数为相邻的．是否能够将 $(0,1)$ 中的实数 $10$ 染色，使得任意两个相邻的数的颜色都不相同？ 2022-04-17 20:15:12
21790 5a55f19d4e28b0000a1d3d22 高中 解答题 自招竞赛 对于 $\{1,2,\cdots,2n\}$ 的一个排列 $\{a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n\}$．定义函数\[f(a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n)=\sum_{i=1}^{n-1}|a_ib_i-a_{i+1}b_{i+1}|.\]求所有排列中 $f(a_1,a_2,\cdots,a_n,b_1,b_2,\cdots,b_n)$ 的最小值． 2022-04-17 20:15:12
21789 5a55f1344e28b00009176ab4 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 内部有一点 $P$ 满足 $\angle PAB=\angle PCB=\dfrac 14\left(\angle A+\angle C\right)$．$L$ 在 $AC$ 上，且 $BL$ 平分 $\angle ABC$．延长 $PL$ 交 $\triangle APC$ 的外接圆于 $Q$，证明：$BQ$ 平分 $\angle AQC$． 2022-04-17 20:14:12
21788 5a55f1f04e28b0000a1d3d27 高中 解答题 自招竞赛 求所有正整数 $a,b,c$，满足对任意实数 $u,v$，$0\leqslant u<v\leqslant 1$，存在正整数 $n$，使得 $\sqrt{an^2+bn+c}\in(u,v)$ 成立． 2022-04-17 20:14:12
21787 5a55f3b14e28b00009176ac3 高中 解答题 自招竞赛 试求所有正整数 $a$，使得对任意正整数 $k$，都存在正整数 $n$，使得 $an+2016$ 是一个正整数的 $k$ 次方． 2022-04-17 20:13:12
21786 5a55f38c4e28b00009176abe 高中 解答题 自招竞赛 一个班里有 $50$ 人，相互之间发短信．若在三个人 $A,B,C$ 之间，仅有 $A$ 给 $B$ 发过短信，$B$ 给 $C$ 发过短信，$C$ 给 $A$ 发过短信，则称 $A,B,C$ 三个人构成一个“循环”，试求这 $50$ 人中“循环”个数的最大可能值． 2022-04-17 20:12:12
21785 5a55f3224e28b0000a1d3d2c 高中 解答题 自招竞赛 设函数 $f(x)=\displaystyle\sum_{i=0}^4a_ix^i$，且 $x\in [-1,1]$ 时 $|f(x)|\leqslant 1$，求 $|a_2|$ 的最大可能值． 2022-04-17 20:11:12
21784 5a55fcd34e28b00009176ad0 高中 解答题 自招竞赛 给定三角形 $A_1A_2A_3$ 及其内部一点．设 $\triangle A_1A_2A_3,\triangle PA_2A_3,\triangle PA_3A_1,\triangle PA_1A_2$ 的外接圆圆心分别为 $O,O_1,O_2,O_3$．设直线 $OO_1$ 与 $O_2O_3$ 相交于点 $M$．试比较 $\dfrac{MO_2}{MO_3}$ 与 $\dfrac{S_{\triangle PA_1A_2}}{S_{\triangle PA_3A_1}}$ 的大小，其中 $S_{\triangle P_A1A_2},S_{\triangle PA_3A_1}$ 分别表示 $\triangle PA_1A_2$ 和 $\triangle PA_3A_1$ 的面积． 2022-04-17 20:11:12
21783 5a55fd8b4e28b0000a1d3d39 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $n$，求最大的正整数 $k$，使得如下命题成立．对每个 $i=1,2,\cdots,2n$，设 $A_i$ 是若干个相邻的整数构成的集合（即每个 $A_i$ 都是形如 $\{a+1,a+2,\cdots,a+r\}$ 的集合，其中 $a$ 是整数，$r$ 是正整数）．如果对任何 $1\leqslant i\leqslant n,(n+1)\leqslant j\leqslant 2n$ 都有 $A_i\cap A_j\ne \varnothing$，则存在整数 $x$，使得集合 $\{1\leqslant i\leqslant 2n \mid x\in A_i\}$ 中包含至少 $k$ 个不同的元素． 2022-04-17 20:11:12
21782 5a55fe754e28b00009176ad5 高中 解答题 自招竞赛 对由有限个实数构成的集合 $Y$，定义 $\sigma (Y)$ 为 $Y$ 中所有元素之和\[\sigma(Y)=\sum_{y\in Y}y.\]给定正整数 $m,n$ 与正实数 $x_1<x_2<\cdots<x_m$．设 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是集合 $\{x_1,x_2,\cdots,x_m\}$ 的非空子集，求如下表达式\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\dfrac{\sigma (A_i\cap A_j)}{\sigma (A_i)\cdot\sigma (A_j)}\]所能取到的最小值． 2022-04-17 20:10:12
21781 5a55ff7f4e28b0000a1d3d3e 高中 解答题 自招竞赛 设 $G$ 是连通的简单图，所有顶点构成的集合为 $V$，所有边构成的集合为 $E$．称 $E$ 的子集 $H$ 为 $G$ 的“偶度子图”，如果对任何 $x\in V$，$H$ 中一共有偶数条边以 $x$ 为顶点．设 $|V|=v$，$|E|=e$．请问 $G$ 一共有多少个“偶度子图”？注意，$E$ 的空子集 $\varnothing$ 也被视为一个“偶度子图”． 2022-04-17 20:10:12
21780 5a56003f4e28b00009176ada 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 是大于 $3$ 的素数，证明：\[\sum_{i=0}^{\frac {p-1}2}\begin{pmatrix}2i\\ i\end{pmatrix}\equiv \pm 1\pmod p,\]其中\[\begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}=\dfrac{a!}{b!\cdot (a-b)!},\]并约定 $\begin{pmatrix} 0\\ 0\end{pmatrix}=1$． 2022-04-17 20:09:12
21779 5a5091e3c0972c000bdd266d 高中 解答题 自招竞赛 设 $T$ 是一个平面到自身的映射，满足平面上任意两点在变换 $T$ 下的距离不变．证明：存在实数 $a,b,c,d,x_0,y_0\in\mathbb R$，使得 $T$ 将每个点 $(x,y)$ 映射成 $(ax+by+x_0,cx+dy+y_0)$． 2022-04-17 20:09:12
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