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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
21818 595c7d55866eeb000a035626 高中 解答题 高中习题 已知 $P$ 是定直线 $y=n$（$n<0$）上的一点，过 $P$ 作抛物线 $C:x^2=2py$（$p>0$）的两条切线，设切点分别为 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$． 2022-04-17 20:31:12
21817 595c7e52866eeb0008b1dbb6 高中 解答题 高中习题 已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），圆 $O:x^2+y^2=r^2$，其中 $O$ 为坐标原点．椭圆 $E$ 上两点 $P,Q$ 满足直线 $OP$ 与直线 $OQ$ 的斜率之积为 $-\dfrac{b^2}{a^2}$，求直线 $PQ$ 被圆 $O$ 截得的弦长的取值范围． 2022-04-17 20:31:12
21816 595c7fe86e0c650007a04275 高中 解答题 高中习题 如图，正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 在平面 $\alpha$ 的上方，点 $O$ 是线段 $A_1C_1$ 的中点，直线 $OA$ 与平面 $\alpha$ 所成角为 $\dfrac{\pi}3$．当正方体 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 绕 $OA$ 旋转一周时，求平面 $C_1D_1DC$ 与平面 $\alpha$ 所成角的正弦值的取值范围． 2022-04-17 20:30:12
21815 595c84406e0c65000a2cfa38 高中 解答题 高中习题 设 $a_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac 1k-\ln n$． 2022-04-17 20:30:12
21814 595c850e6e0c650007a0428f 高中 解答题 高中习题 $5$ 个人比赛排名，允许并列，求可能的名次数． 2022-04-17 20:29:12
21813 595c873e6e0c650007a04297 高中 解答题 高中习题 已知函数 $f(x)=x^2\ln x$，且满足 $f(x_1)=f(x_2)$，$x_1<x_2$，求证：$1<x_1+x_2<2{\rm e}^{-\frac 12}$． 2022-04-17 20:29:12
21812 595c876d6e0c650007a0429b 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=\ln (x+m)-mx$，其中 $m>1$，$x_1,x_2$ 是函数 $f(x)$ 的两个零点，求证：$x_1+x_2<0$． 2022-04-17 20:28:12
21811 598bf29ede229f000aa425d2 高中 解答题 高中习题 已知 $f(x)=\ln (x+m)-mx$，其中 $m>1$，$x_1,x_2$ 是函数 $f(x)$ 的两个零点，求证：$x_1+x_2<0$． 2022-04-17 20:28:12
21810 59094603060a05000b3d1f5c 高中 解答题 高中习题 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设 $\triangle ABC$ 的顶点分别为 $A(0,a)$，$B(b,0)$，$C(c,0)$，点 $P(0,p)$ 在线段 $AO$ 上（异于端点）．设 $a,b,c,p$ 为非零常数，设直线 $BP,CP$ 分别与边 $AC,AB$ 交于点 $E,F$，求直线 $OE$ 与直线 $OF$ 的方程． 2022-04-17 20:27:12
21809 59e5de3dc3f07000082a3584 高中 解答题 高中习题 设 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq 0$）． 2022-04-17 20:27:12
21808 5a55aa4b4e28b0000a1d3ce0 高中 解答题 自招竞赛 前 $n$ 项和为 $S_n$ 的正项数列 $\{a_n\}$，满足$$a_n^2+2a_n=4S_n+3(n \in \mathbb N_+).$$ 2022-04-17 20:26:12
21807 5a55ab4f4e28b0000a1d3ce5 高中 解答题 自招竞赛 $\triangle ABC$ 中，角 $A$、$B$、$C$ 所对的边分别为 $a$、$b$、$c$，有等式$${\ln }\tan A+{\ln }\tan C=2{\ln }\tan B.$$ 2022-04-17 20:26:12
21806 5a55abef4e28b0000a1d3cea 高中 解答题 自招竞赛 设 $S,T\subset \mathbb N$，满足 $0\in S$，且存在正实数 $u,v$ 使\[|S\cap \{1,2,\cdots,n\}|\geqslant un,|T\cap \{1,2,\cdots,n\}|\geqslant vn\]对任意正整数 $n$ 成立．证明：若 $u+v\geqslant 1$，则 $\mathbb Z^+\subset S+T$． 2022-04-17 20:25:12
21805 5a55ac414e28b0000a1d3cef 高中 解答题 自招竞赛 已知集合 $A=\{1,2,3,4,\cdots,101\}$，集合 $B\subseteq A$，且集合 $B$ 中的最小元素是偶数． 2022-04-17 20:25:12
21804 5a55ac9d4e28b00009176a88 高中 解答题 自招竞赛 平面上是否存在某个有限直线集 $B$，满足 $A$ 中每个点恰好在 $B$ 中三条直线上，且 $B$ 中每条直线恰好经过 $A$ 中的三个点． 2022-04-17 20:25:12
21803 5a55ad224e28b00009176a8d 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=x^2-2{\ln} x$，若存在 $x_1,x_2,\cdots,x_n \in \left[\dfrac {1}{\mathrm e},\mathrm e\right]$，使得$$f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_{n-1})=f(x_n) $$成立，求 $n$ 的最大值． 2022-04-17 20:24:12
21802 5a55ad3e4e28b00009176a92 高中 解答题 自招竞赛 设 $p$ 是奇素数，$g\in\mathbb Z[x]$，$\deg g=m$，$k\in\mathbb Z^+$，设\[\begin{pmatrix} g(px)\\ k\end{pmatrix}=\sum_{i=0}^{mk}c_i\begin{pmatrix} x \\ i\end{pmatrix},\]其中\[\begin{pmatrix} x\\ k\end{pmatrix}=\dfrac{x(x-1)\cdots (x-k+1)}{k!}.\]证明：$c_j\in\mathbb Z$，且 $p^{j-\left[\frac kp\right]}\mid c_j$（$j=0,1,\cdots,mk$）． 2022-04-17 20:24:12
21801 5a55adc94e28b0000a1d3cf4 高中 解答题 自招竞赛 设 $k\in\mathbb Z^+$，且\[S=\left\{\left(m+\dfrac 1k,n\right)\mid m,n\in\mathbb Z\right\},T=\left\{\left(m+\dfrac 2k,n\right)\mid m,n\in\mathbb Z\right\}.\]求所有正整数 $k$，使得存在 $a,b,c,d\in\mathbb R$ 及映射\[F:\mathbb R^2\to \mathbb R^2,F(x,y)=(ax+by,cx+dy),\]满足 $F(S)=T$． 2022-04-17 20:23:12
21800 5a55ae544e28b0000a1d3cfe 高中 解答题 自招竞赛 设椭圆 $\dfrac {x^2}{5}+\dfrac {y^2}{4}=1$ 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹为 $C$，曲线 $C$ 与两条切线 $PA$，$PB$ 交于点 $P$，且与 $C$ 分别切于 $A$，$B$ 两点，求 $\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PB}$ 的最小值． 2022-04-17 20:22:12
21799 5a55aec44e28b00009176a97 高中 解答题 自招竞赛 给定正整数 $k$．$A,B,C$ 三个人玩一个游戏（$A$ 一边，$B$ 和 $C$ 一边）：$A$ 先从集合 $\{1,2,\cdots,n\}$ 中取 $k$ 个数交给 $B$，$B$ 从这 $k$ 个数中选择 $k-1$ 个有序地给 $C$，若 $C$ 能够确定 $B$ 没给 $C$ 的数是什么，则 $B,C$ 赢了．求最大正整数 $n$，使 $B,C$ 有必胜策略． 2022-04-17 20:22:12
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