已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足：$a_{1}=2$，$a_{2}=3$，$2a_{n+1}=3a_{n}-a_{n-1}(n\geqslant 2)$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
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求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n}$；标注答案$a_{n}=4-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}$解析由 $2a_{n+1}=3a_{n}-a_{n-1}(n\geqslant 2)$ 得$$2(a_{n+1}-a_{n})=a_{n}-a_{n-1}(n\geqslant 2),$$则数列 $\{a_{n}-a_{n-1}\}$ 是以 $a_{2}-a_{1}=1$ 为首项，$\dfrac{1}{2}$ 为公比的等比数列，所以$$a_{n}-a_{n-1}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2},$$由累加法得 $a_{n}=4-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}$．
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求使不等式 $\dfrac{a_{n}-m}{a_{n+1}-m}<\dfrac{2}{3}$ 成立的所有正整数 $m,n$ 的值．标注答案$\begin{cases}m=1,\\ n=1,\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=2,\\ n=1,\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=3,\\ n=2.\end{cases}$解析不等式 $\dfrac{a_{n}-m}{a_{n+1}-m}>\dfrac{2}{3}$ 即为\[\dfrac{4-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-2}-m}{4-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}-m}<\dfrac{2}{3},\]显然 $m\geqslant 4$ 时无解，则易得 $\begin{cases}m=1,\\ n=1,\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=2,\\ n=1,\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=3,\\ n=2.\end{cases}$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
