已知函数 $f(x)=\left(a-\dfrac{1}{2}\right){\rm e}^{2x}+x(a\in\mathbb R)$．
【难度】
【出处】
2013年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
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若 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,0)$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；标注答案$[0,+\infty)$解析因为 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,0)$ 上单调递增，所以$$f'(x)=(2a-1){\rm e}^{2x}+1\geqslant 0$$在区间 $(-\infty,0)$ 上恒成立，即$$1-2a\leqslant \dfrac{1}{{\rm e}^{2x}},$$而当 $x\in(-\infty,0)$ 时，$$\dfrac{1}{{\rm e}^{2x}}>1,$$故$$1-2a\leqslant 1,$$所以 $a\geqslant 0$．
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若在区间 $(0,+\infty)$ 上，函数 $f(x)$ 的图象恒在曲线 $y=2a{\rm e}^{2x}$ 下方，求 $a$ 的取值范围．标注答案$\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]$解析令$$g(x)=f(x)-2a{\rm e}^{x}=\left(a-\dfrac{1}{2}\right){\rm e}^{2x}-2a{\rm e}^{x}+x,$$定义域为 $\mathbb R$．
在区间 $(0,+\infty)$ 上，函数 $f(x)$ 图象横在曲线 $y=2a{\rm e}^{x}$ 下方等价于 $g(x)<0$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上恒成立．
因为$$\begin{split}g'(x)&=(2a-1){\rm e}^{2x}-2a{\rm e}^{x}+1\\ &=({\rm e}^{x}-1)[(2a-1){\rm e}^{x}-1],\end{split}$$情形一 $a>\dfrac{1}{2}$．
令 $g'(x)=0$，得极值点$$x_{1}=0,x_{2}=\ln \dfrac{1}{2a-1}.$$当 $x_{2}>x_{1}=0$，即 $\dfrac{1}{2}<a<1$ 时，在 $(x_{2},+\infty)$ 上有 $g'(x)>0$，此时 $g(x)$ 在区间 $(x_{2},+\infty)$ 上是增函数，并且在该区间上有 $g(x)\in(g(x_{2}),+\infty)$，不合题意；
当 $x_{2}\leqslant x_{1}=0$，即 $a\geqslant 1$ 时，同理可知，$g(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上，有 $g(x)\in(g(0),+\infty)$，也不合题意；情形二 $a\leqslant \dfrac{1}{2}$．
因为 $2a-1\leqslant 0$，所以此时在区间 $(0,+\infty)$ 上恒有 $g'(x)<0$，从而 $g(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上是减函数．
要使 $g(x)<0$ 在此区间上恒成立，只须满足\[g(0)=-a-\dfrac{1}{2}\leqslant 0,\]解得 $a\geqslant -\dfrac{1}{2}$，由此求得 $a$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]$．
综上以上两种情况，当 $a\in\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]$ 时，函数 $f(x)$ 的图象横在直线 $y=2a{\rm e}^{x}$ 下方．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
