已知椭圆 $\dfrac{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}}{2} + {y^2} = 1$ 与抛物线 ${y^2} = \dfrac{1}{2}x$ 在第一象限内有两个公共点 $A , B$，线段 $AB$ 的中点 $M$ 在抛物线 ${y^2} = \dfrac{1}{4}\left( {x + 1} \right)$ 上，求 $a$．
【难度】
【出处】
2001年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
$\sqrt 3 $
【解析】
设 $A\left( {{x_1} , {y_1}} \right)$、$B\left( {{x_2} , {y_2}} \right)$、$M\left( {{x_0} , {y_0}} \right)$，则
将椭圆 $\dfrac{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}}{2} + {y^2} = 1$ 与抛物线 ${y^2} = \dfrac{1}{2}x$ 联立，有$${x^2} + \left( {1 - 2a} \right)x + {a^2} - 2 = 0\cdots\cdots \text{ ① }.$$于是 ${x_1} + {x_2} = 2a - 1$，${x_1}{x_2} = {a^2} - 2$．所以 ${x_0} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \dfrac{{2a - 1}}{2}$，\[{y_0} = \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{2} = \dfrac{{\sqrt {\dfrac{1}{2}{x_1}} + \sqrt {\dfrac{1}{2}{x_2}} }}{2} = \sqrt {\dfrac{{{x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} }}{8}} = \sqrt {\dfrac{{2a - 1 + 2\sqrt {{a^2} - 2} }}{8}}.\]点 $M$ 在抛物线 ${y^2} = \dfrac{1}{4}\left( {x + 1} \right)$ 上，所以 ${y_0}^2 = \dfrac{1}{4}\left( {{x_0} + 1} \right)$，于是$$\dfrac{{2a - 1 + 2\sqrt {{a^2} - 1} }}{8} = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{{2a - 1}}{2} + 1} \right),$$解得 $a = \sqrt 3 $ 或 $a = - \sqrt 3 $．经检验（方程 ① 有两个正根），$a$ 的值为 $\sqrt 3 $．
将椭圆 $\dfrac{{{{\left( {x - a} \right)}^2}}}{2} + {y^2} = 1$ 与抛物线 ${y^2} = \dfrac{1}{2}x$ 联立，有$${x^2} + \left( {1 - 2a} \right)x + {a^2} - 2 = 0\cdots\cdots \text{ ① }.$$于是 ${x_1} + {x_2} = 2a - 1$，${x_1}{x_2} = {a^2} - 2$．所以 ${x_0} = \dfrac{{{x_1} + {x_2}}}{2} = \dfrac{{2a - 1}}{2}$，\[{y_0} = \dfrac{{{y_1} + {y_2}}}{2} = \dfrac{{\sqrt {\dfrac{1}{2}{x_1}} + \sqrt {\dfrac{1}{2}{x_2}} }}{2} = \sqrt {\dfrac{{{x_1} + {x_2} + 2\sqrt {{x_1}{x_2}} }}{8}} = \sqrt {\dfrac{{2a - 1 + 2\sqrt {{a^2} - 2} }}{8}}.\]点 $M$ 在抛物线 ${y^2} = \dfrac{1}{4}\left( {x + 1} \right)$ 上，所以 ${y_0}^2 = \dfrac{1}{4}\left( {{x_0} + 1} \right)$，于是$$\dfrac{{2a - 1 + 2\sqrt {{a^2} - 1} }}{8} = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{{2a - 1}}{2} + 1} \right),$$解得 $a = \sqrt 3 $ 或 $a = - \sqrt 3 $．经检验（方程 ① 有两个正根），$a$ 的值为 $\sqrt 3 $．
答案
解析
备注
