已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=\dfrac 12a_n+\dfrac{1}{a_n}$，且 $a_1=1$，求证：对任意 $n\geqslant 2$，均有 $\dfrac 2{\sqrt{a_n^2-2}}$ 是正整数．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
令$$b_n=\dfrac {2}{\sqrt{a_n^2-2}},n\geqslant 2,$$则有$$a_n^2=\dfrac {4}{b_n^2}+2.$$从而有$$b_{n+1}=\dfrac {2}{\sqrt{a_{n+1}^2-2}}=\dfrac{2}{\sqrt{\left(\dfrac 12a_n+\dfrac {1}{a_n}\right )^2-2}}=b_n\sqrt{2(b_n^2+2)}.$$于是有$$b_{n+2}=b_{n+1}\sqrt{2(b_{n+1}^2+2)}=b_{n+1}\sqrt{2[b_n^2\cdot 2(b_n^2+2)+2]}=2b_{n+1}(b_n^2+1).$$又因为 $b_2=4,b_3=24$，由数学归纳法知 $n\geqslant 2$ 时，$b_n$ 为正整数．
答案
解析
备注
