设数列 $\left\{ {{b_n}} \right\}$ 满足 ${b_1} = 1$，${b_n} > 0$ $\left( {n = 2 , 3 , \cdots } \right)$，其前 $n$ 项乘积 ${T_n} = {\left( {{a^{n - 1}}{b_n}} \right)^n}$ $\left( {n = 1 , 2 , \cdots } \right)$．
【难度】
【出处】
2001年复旦大学保送生招生测试
【标注】
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证明 $\left\{ {{b_n}} \right\}$ 是等比数列；标注答案略解析因为$${b_{n + 1}} = \dfrac{{{T_{n + 1}}}}{{{T_n}}} = \dfrac{{{{\left( {{a^n}{b_{n + 1}}} \right)}^{n + 1}}}}{{{{\left( {{a^{n - 1}}{b_n}} \right)}^n}}},$$所以 $\dfrac{{{b_{n + 1}}}}{{{b_n}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}}$．所以 $\left\{ {{b_n}} \right\}$ 是等比数列．
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若 $a > 1$，求 $\left\{ {{b_n}} \right\}$ 中所有不同两项的乘积之和的极限．标注答案$\dfrac{{{a^4}}}{{{{\left({{a^2} - 1} \right)}^2}\left({{a^2} + 1} \right)}}$解析因为 ${b_n} = \dfrac{1}{{{a^{2\left( {n - 1} \right)}}}}$．所求乘积之和为$$\dfrac{{{{\left( {{b_1} + {b_2} + \cdots + {b_n}} \right)}^2} - \left( {{b_1}^2 + {b_2}^2 + \cdots + {b_n}^2} \right)}}{2}.$$若 $a > 1$，则乘积之和的极限为$$\dfrac{{\dfrac{1}{{{{\left( {1 - \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{1 - \dfrac{1}{{{a^4}}}}}}}{2} = \dfrac{{{a^4}}}{{{{\left( {{a^2} - 1} \right)}^2}\left( {{a^2} + 1} \right)}}.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
