已知 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a>0$），求证：最多存在两个整数 $s,t$，使得 $|f(s)|,|f(t)|$ 小于 $\dfrac a2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
若 $|f(s)|,|f(t)|,|f(r)|$ 均小于 $\dfrac a2$，则$$|f(s)-f(t)|=\left|(s-t)\cdot[a(s+t)+b]\right|<a,$$于是$$|a(s+t)+b|<a,$$同理，有$$\left|a(t+r)+b\right|<a,$$因此有$$\left|[a(s+t)+b]-[a(t+r)+b]\right|<2a,$$即$$|s-r|\leqslant 1,$$同理有$$|s-t|\leqslant 1,|t-r|\leqslant 1,$$矛盾，因此命题得证．
答案
解析
备注
