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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27098 596866a122d14000072f8508 高中 解答题 自招竞赛 如图，设锐角 $\triangle{ABC}$ 的外接圆为圆 $O$，过点 $B,C$ 作圆 $O$ 的两条切线，相交于点 $P$．连结 $AP$ 交 $BC$ 于点 $D$，点 $E,F$ 分别在边 $AC,AB$ 上，使得 $DE\parallel BA$，$DF\parallel CA$．求证： 2022-04-17 21:06:01
27097 596323e73cafba000ac43e69 高中 解答题 自招竞赛 已知 $P_1,P_2,P_3,\cdots ,P_{35}$ 是平面内凸三十五边形的 $35$ 个顶点，且 $P_1,P_2,P_3,\cdots ,P_{35}$ 中任何两点之间的距离不小于 $\sqrt 3$．求证：从这 $35$ 个点中可以选出 $5$ 个点，使得这 $5$ 个点中任意两点之间的距离不小于 $3$． 2022-04-17 21:06:01
27096 5963260d3cafba0009670d49 高中 解答题 自招竞赛 如图，$\triangle{ABC}$ 的内心为 $I$，$M,N$ 分别是 $AB,AC$ 的中点，$AB>AC$，内切圆 $\odot I$ 分别与边 $BC,CA$ 相切于 $D,E$；证明：$MN,BI,DE$ 三线共点． 2022-04-17 21:05:01
27095 596326513cafba000ac43e7d 高中 解答题 自招竞赛 在电脑屏幕上给出一个正 $2011$ 边形，它的顶点分别被涂成黑、白两色；某程序执行这样的操作：每次可选中多边形连续的 $a$ 个顶点（其中 $a$ 是小于 $2011$ 的一个固定的正整数），一按鼠标键，将会使这 $a$ 个顶点“黑白颠倒”，即黑点变白，而白点变黑． 2022-04-17 21:05:01
27094 591512b41edfe2000ade98f7 初中 解答题 其他 如图，抛物线 $ y=-x^2-6x-5 $ 与 $x $ 轴交于点 $A\left(-5,0\right) $，$B\left(-1,0\right) $，与 $y $ 轴交于点 $C\left(0,-5\right) $，点 $P $ 是抛物线上的动点，连接 $PA$，$ PC $，$PC$ 与 $x $ 轴交于点 $D $．过点 $P $ 作 $y $ 轴的平行线交 $ x$ 轴于点 $H $，交直线 $AC $ 于点 $E $，$\triangle APE$ 能否为等腰三角形？若能，请求出此时点 $P $ 的坐标；若不能，请说明理由． 2022-04-17 21:04:01
27093 590805d6060a05000980af88 初中 解答题 其他 已知整数 $m$ 满足 $6<m<20$，如果关于 $x$ 的一元二次方程 $mx^2-\left(2m-1\right)x+m-2=0$ 有有理根，求 $m$ 的值及方程的根． 2022-04-17 21:03:01
27092 5963279e3cafba0007613168 高中 解答题 自招竞赛 设 $a>0$，函数 $f(x)=x^3-ax$ 在 $[1,+\infty)$ 上是单调函数． 2022-04-17 21:03:01
27091 596328523cafba000ac43e90 高中 解答题 自招竞赛 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，以原点 $O$ 为圆心，分别以 $a,b(a>b>0)$ 为半径作两个圆．点 $Q$ 是大圆半径 $OP$ 与小圆的交点，过点 $P$ 作 $AN\perp Ox$ 垂足为 $N$，过点 $Q$ 作 $QM\perp PN$，垂足为 $M$，记当半径 $OP$ 绕点 $O$ 旋转时点 $M$ 的轨迹为曲线 $E$． 2022-04-17 21:03:01
27090 5910289c40fdc700073df4cf 高中 解答题 自招竞赛 己知函数 $f\left(x\right)$ 满足 $f\left({x+y}\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)+xy\left({x+y}\right)$，又 $f'\left(0\right)=1$，求函数 $f\left(x\right)$ 的解析式． 2022-04-17 21:02:01
27089 59632a0a3cafba0009670d60 高中 解答题 自招竞赛 已知二次函数 $y=f(x)=x^2+bx+c$ 的图象过点 $(1,13)$，且函数 $y=f\left(x-\dfrac 12\right)$ 是偶函数． 2022-04-17 21:01:01
27088 59632a253cafba0008337386 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 13$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n^2}(n\in \mathbb N^*)$．证明：对一切 $n\in \mathbb N^*$，有 2022-04-17 21:01:01
27087 591029a240fdc70009113dd8 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=\dfrac{2x}{ax+b}$，$f(1)=1$，$f\left(\dfrac12\right)=\dfrac23$，令 $x_1=\dfrac12$，$x_{n+1}=f(x_n)$． 2022-04-17 21:00:01
27086 595749e4d3b4f900086c4508 高中 解答题 高中习题 若 $\alpha,\beta,\gamma$ 是任意实数，求$$\sqrt{|\sin\alpha-\sin\beta|}+\sqrt{|\sin\beta-\sin\gamma|}+\sqrt{|\sin\gamma-\sin\alpha|}$$的最大值． 2022-04-17 21:59:00
27085 591029d440fdc70009113dde 高中 解答题 自招竞赛 已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$，点 $F_1,F_2$ 分别为 $C$ 的左右焦点．$P$ 为 $C$ 右支上一点，且使 $\angle F_1PF_2=\dfrac{\pi}{3}$，又 $\triangle {F_1}P{F_2}$ 的面积为 $3\sqrt 3 {a^2}$． 2022-04-17 21:58:00
27084 59632d4e3cafba00083373a7 高中 解答题 自招竞赛 已知 $m>0$，若函数 $f(x)=x+\sqrt{100-mx}$ 的最大值为 $g(m)$，求 $g(m)$ 的最小值． 2022-04-17 21:57:00
27083 59632d763cafba000ac43eac 高中 解答题 自招竞赛 已知函数 $f(x)=2\left(\sin ^4 x+\cos ^4 x\right)+m(\sin x+\cos x)^4$ 在 $x\in\left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]$ 有最大值 $5$，求实数 $m$ 的值． 2022-04-17 21:57:00
27082 59632d983cafba000761318b 高中 解答题 自招竞赛 抛物线 $y=x^2$ 与过点 $P(-1,-1)$ 的直线 $l$ 交于 $P_1,P_2$ 两点． 2022-04-17 21:56:00
27081 596330673cafba00083373d3 高中 解答题 自招竞赛 如图，在圆内接四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $E$，且 $\angle{ABD}=60^{\circ}$，$AE=AD$．延长 $AB,DC$ 交于点 $F$，求证：点 $B$ 为 $\triangle{CEF}$ 的外心． 2022-04-17 21:56:00
27080 596330ca3cafba00076131ab 高中 解答题 自招竞赛 设正整数 $n\geqslant 4$，求证：$$0<\dfrac{(-1)^{[\sqrt 4]}}{4}+\dfrac{(-1)^{[\sqrt 5]}}{5}+\cdots +\dfrac{(-1)^{[\sqrt n]}}{n}<1.$$其中，$[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数． 2022-04-17 21:55:00
27079 5963310e3cafba00076131b3 高中 解答题 自招竞赛 设 $\triangle ABC$ 的内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$，且 $2a\cos C=2b-c$． 2022-04-17 21:55:00
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