已知 $f(x)=ax^2+bx+c$（$a>0$），求证：最多存在两个整数 $s,t$，使得 $|f(s)|,|f(t)|$ 小于 $\dfrac a2$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
用反证法，若不止存在两个整数满足条件，则对称轴同一侧（含对称轴）存在两个整数 $m,m+1$，使得 $|f(m)|<\dfrac a2$，$|f(m+1)|<\dfrac a2$，考虑$$f(m+1)-f(m)=2am+a+b,$$而 $m,m+1$ 在对称轴同侧，故有$$m\geqslant -\dfrac {b}{2a}\lor m+1\leqslant -\dfrac {b}{2a},$$此时对应有$$2am+a+b\geqslant a\lor 2am+a+b\leqslant -a,$$即$$|f(m+1)-f(m)|\geqslant a,$$与$$|f(m)|<\dfrac a2,|f(m+1)|<\dfrac a2,$$矛盾．故命题得证．
答案
解析
备注
