将一堆小球（数量不小于 $2$）分为两堆，记录两堆所包含的小球数之积，将这种操作称为“分堆”，将得到的积称为“分堆积”．将一堆包含 $n$ 个小球的小球进行一次“分堆”，对应的“分堆积”设为 $p_1$；从得到的两堆小球中选出一堆进行“分堆”，对应的“分堆积”设为 $p_2$；再从得到的三堆小球中选出一堆进行“分堆”，对应的“分堆积”设为 $p_3$；依次进行下去，直到最后得到 $n$ 堆小球（每堆的小球数量均为 $1$）为止．设$$S(n)=p_1+p_2+\cdots +p_{n-1},$$证明：$S(n)$ 是一个与分堆的具体过程无关的定值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $T_n=\{A_1,A_2,\cdots ,A_n\}$ 为 $n$ 元集合，将第一次分堆视为对集合 $T_n$ 作分划，设分划的结果为 $B_s,B_t$，其中 $t+s=n$，则满足 $x\in B_s$ 且 $y\in B_t$ 的二元集合 $\{x,y\}$ 的数目即 $p_1$．
类似地持续进行分划，直到所有集合均为单元素集为止，则所有的二元集合 $\{x,y\}$ 的数目即 $S(n)$，且这些二元集合的数目恰好为集合 $T_n$ 的二元子集的个数，因此$$S(n)={\rm C}_n^2=\dfrac 12n(n-1).$$这个方法也有一个优美的几何解释：
如图，分步将 $n$ 阶（图中以 $n=10$ 为例）完全图中的线逐步擦除即得．
类似地持续进行分划，直到所有集合均为单元素集为止，则所有的二元集合 $\{x,y\}$ 的数目即 $S(n)$，且这些二元集合的数目恰好为集合 $T_n$ 的二元子集的个数，因此$$S(n)={\rm C}_n^2=\dfrac 12n(n-1).$$这个方法也有一个优美的几何解释：
如图，分步将 $n$ 阶（图中以 $n=10$ 为例）完全图中的线逐步擦除即得．
答案
解析
备注
