2011年全国高中数学联赛甘肃省预赛

略

因 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 为正数，由柯西不等式得\[\begin{split}(a_1+a_2+\cdots +a_n)\left(\dfrac 1{a_1}+\dfrac 1{a_2}+\cdots +\dfrac 1{a_n}\right)\geqslant \\ \left(\sqrt{a_1}\times \dfrac 1{\sqrt{a_1}}+\sqrt{a_2}\times \dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+\cdots +\sqrt{a_n}\times \dfrac{1}{\sqrt{a_n}}\right)^2,\end{split}\]即$$(a_1+a_2+\cdots +a_n)\left(\dfrac 1{a_1}+\dfrac 1{a_2}+\cdots +\dfrac 1{a_n}\right)\geqslant n^2.$$又 $a_1+a_2+\cdots +a_n=1$，所以$$\dfrac 1{a_1}+\dfrac 1{a_2}+\cdots +\dfrac 1{a_n}\geqslant n^2.$$对 $a_1+\dfrac 1{a_1},a_2+\dfrac 1{a_2},\cdots ,a_n+\dfrac 1{a_n}$ 和实数 $\underbrace{1,1,\cdots ,1}_{n\text{个}}$，由柯西不等式得\[\begin{split}&\left[\left(a_1+\dfrac 1{a_1}\right)^2+\left(a_2+\dfrac 1{a_2}\right)^2+\cdots +\left(a_n+\dfrac 1{a_n}\right)^2\right](\underbrace{1^2+1^2+\cdots +1^2}_{n\text{个}})\\&\geqslant \left[\left(a_1+\dfrac 1{a_1}\right)\times 1+\left(a_2+\dfrac 1{a_2}\right)\times 1+\cdots +\left(a_n+\dfrac 1{a_n}\right)\times 1\right]^2,\end{split}\]即\[\begin{split}&\left[\left(a_1+\dfrac 1{a_1}\right)^2+\left(a_2+\dfrac 1{a_2}\right)^2+\cdots +\left(a_n+\dfrac 1{a_n}\right)^2\right]n\\&\geqslant \left(a_1+\dfrac 1{a_1}+a_2+\dfrac 1{a_2}+\cdots +a_n+\dfrac 1{a_n}\right)^2,\end{split}\]即\[\begin{split}\left[\left(a_1+\dfrac 1{a_1}\right)^2+\left(a_2+\dfrac 1{a_2}\right)^2+\cdots +\left(a_n+\dfrac 1{a_n}\right)^2\right]n \geqslant (n^2+1)^2,\end{split}\]所以$$\left(a_1+\dfrac 1{a_1}\right)^2+\left(a_2+\dfrac 1{a_2}\right)^2+\cdots +\left(a_n+\dfrac 1{a_n}\right)^2\geqslant \dfrac{(n^2+1)^2}{n}.$$