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序号 ID 年级 类型 来源 摘要 创建时间
27178 59127adbe020e70007fbed05 高中 解答题 自招竞赛 定义横、纵坐标都是整数的点为格点．在平面直角坐标系中，有对称中心是原点的矩形，证明面积大于 $4$ 的该类矩形至少包含除原点外的其他两个格点． 2022-04-17 21:50:01
27177 59127a61e020e700094b0bb5 高中 解答题 自招竞赛 四面体一个顶点处的三个角分别是 $\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{3},\arctan 2$，求角度为 $\dfrac{\pi}{3}$ 对应的面和角度为 $\arctan 2$ 对应的面所成的二面角的大小． 2022-04-17 21:49:01
27176 590c3792857b42000aca3875 高中 解答题 自招竞赛 设椭圆 $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\left( {a > 2} \right)$ 的离心率为 $\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$，斜率为 $k$ 的直线 $l$ 过点 $E\left( {0 , 1} \right)$，且与椭圆相交于 $C$、$D$ 两点． 2022-04-17 21:49:01
27175 590c388f857b4200092b06f3 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中，${a_1} = 3$，${a_{n + 1}} = a_n^2 - n{a_n} + \alpha $，$n \in {{\mathbb{N}}^*}$，$\alpha \in {\mathbb{R}}$． 2022-04-17 21:48:01
27174 590fbbab857b42000aca388e 高中 解答题 自招竞赛 已知数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 为正项等比数列，且 ${a_3} + {a_4} - {a_1} - {a_2} = 5$，求 ${a_5} + {a_6}$ 的最小值． 2022-04-17 21:47:01
27173 590fbc84857b4200092b0706 高中 解答题 自招竞赛 有一四个顶点都在三角形 $ABC$ 三边上的内接正方形．已知 $\triangle ABC$ 为锐角三角形，三边长 $a,b,c$ 满足 $a > b > c$，求证：这个三角形的最大内接正方形边长为 $\dfrac{{ac\sin B}}{{c + a\sin B}}$． 2022-04-17 21:47:01
27172 590fbd96857b4200092b0709 高中 解答题 自招竞赛 已知 $a_1,a_2,\cdots,a_{10}$ 为大于零的正实数，且 ${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_{10}} = 30$，${a_1}{a_2} \cdots {a_{10}} < 21$，求证：$a_1,a_2,\cdots,a_{10}$ 中必有一个数在 $(0,1)$ 之间． 2022-04-17 21:46:01
27171 590fc268857b420007d3e57d 高中 解答题 自招竞赛 设圆的内接五边形的内角都相等，求证：这个五边形为正五边形． 2022-04-17 21:46:01
27170 590fc28b857b4200092b071a 高中 解答题 自招竞赛 求证：$\forall n \in {\mathbb N^ * }$，${\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n}$ 都能写成 $\sqrt m + \sqrt {m - 1} $（$m \in {\mathbb N^ * }$）的形式．（例如 ${\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2} = \sqrt 9 + \sqrt 8 $）． 2022-04-17 21:45:01
27169 590fc666857b4200092b0728 高中 解答题 自招竞赛 方程 $ax^2+(a+4)x+a+1=0$ 有且仅有一个素数根，求 $a$ 的取值范围． 2022-04-17 21:45:01
27168 590fc692857b420007d3e586 高中 解答题 自招竞赛 三角形的三边长分别为 $2,3,4$，求其内切圆半径和外接圆半径． 2022-04-17 21:44:01
27167 590fcc71857b420007d3e599 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle ABC$ 中，$A$、$B$、$C$ 的对边分别为 $a$、$b$、$c$．已知 $2{\sin ^2}\dfrac{{A + B}}{2} = 1 + \cos 2C$． 2022-04-17 21:43:01
27166 590fccb7857b4200085f8643 高中 解答题 自招竞赛 已知两点 $A\left( { - 2, 0} \right)$，$B\left( {2, 0} \right)$．动点 $P$ 在 $y$ 轴上的射影是 $H$，且 $\overrightarrow {PA} \cdot \overrightarrow {PB} = 2{\left| {\overrightarrow {PH} } \right|^2}$． 2022-04-17 21:43:01
27165 590fcd7c857b4200085f8646 高中 解答题 自招竞赛 记函数 ${f_n}\left( x \right) = 1 + x + \dfrac{{{x^2}}}{{2! }} + \dfrac{{{x^3}}}{{3! }} + \cdots + \dfrac{{{x^n}}}{{n! }}$，$n = 1, 2, \cdots$．
证明：当 $n$ 是偶数时，方程 ${f_n}\left( x \right) = 0$ 没有实根；当 $n$ 是奇数时，方程 ${f_n}\left( x \right) = 0$ 有唯一的实根 ${\theta _n}$，且 ${\theta _n} > {\theta _{n + 2}}$．		 2022-04-17 21:43:01
27164 590fd4f5857b420007d3e5aa 高中 解答题 自招竞赛 $y = \dfrac{1}{2}{x^2}$ 与 $y = x + 4$ 围成区域中有矩形 $ABCD$，且 $A$、$B$ 在抛物线上，$D$ 在直线上，其中 $B$ 在 $y$ 轴右侧，且 $AB$ 长为 $2t$（$t > 0$）． 2022-04-17 21:42:01
27163 590fd554857b4200085f8653 高中 解答题 自招竞赛 函数 $f\left( x \right) = 2\left( {\sin 2x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\cos x - \sin 3x$，且 $x \in \left[ {0, 2\pi} \right]$． 2022-04-17 21:41:01
27162 595e35f3815115000a492f2a 高中 解答题 自招竞赛 如图，四面体 $ABCD$ 中，$O,E$ 分别是 $BD,BC$ 的中点，$AO$ 垂直于平面 $BCD$，且 $CA = CB = CD = 2$，$AB = \sqrt 2 $，求异面直线 $AB$ 与 $ED$ 所成角的大小． 2022-04-17 21:41:01
27161 590fd599857b420007d3e5ad 高中 解答题 自招竞赛 在 $\triangle AOB$ 内（含边界），其中 $O$ 为坐标原点，$A$ 在 $x$ 轴正向，$B$ 在 $y$ 轴正向，且有 $OA = OB = 2$． 2022-04-17 21:40:01
27160 590fda02857b42000aca38c2 高中 解答题 自招竞赛 设 $x$ 满足条件 $x^3-\dfrac 1{x^3}=8\sqrt 5$．求 $x^2+\dfrac 1{x^3}$ 的值． 2022-04-17 21:40:01
27159 590fde18857b4200085f866c 高中 解答题 自招竞赛 设 $a$，$b$ 是从集合 $\{1,2,3,4,5\}$ 中随机选取的数． 2022-04-17 21:39:01
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