题目 设 $a$，$b$ 是从集合 $\{1,2,3,4,5\}$ 中随机选取的数． 问题1 求直线 $y = ax + b$ 与圆 ${x^2} + {y^2} = 2$ 有公共点的概率． 答案1 $\dfrac{{19}}{{25}}$ 解析1 若直线和圆有公共点，则$$\dfrac{{\left| b \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} \leqslant \sqrt 2 \Rightarrow {b^2} \leqslant 2 + 2{a^2}.$$当 $a = 1$ 时，$b=1,2$；<br/>当 $a = 2$ 时，$b=1,2,3$；<br/>当 $a = 3$ 时，$b=1,2,3,4$；<br/>当 $a = 4$ 时，$b=1,2,3,4,5$；<br/>当 $a = 5$ 时，$b=1,2,3,4,5$．<br/>合计 $19$ 种可能．<br/>而 $a$，$b$ 的所有可能选择有 $5 \cdot 5 = 25$ 种，于是有公共点的概率为 $\dfrac{{19}}{{25}}$． 备注1 问题2 设 $X$ 为直线 $y = ax + b$ 与圆 ${x^2} + {y^2} = 2$ 的公共点的个数，求随机变量 $X$ 的分布列及数学期望 $E\left( X \right)$． 答案2 随机变量 $X$ 的分布列为$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline<br/>X& 0& 1 &2\\ \hline<br/>P&\dfrac{6}{{25}}&\dfrac{1}{{25}}&\dfrac{{18}}{{25}}\\ \hline \end{array}$$$ E\left( X \right) = \dfrac{{37}}{{25}} $ 解析2 直线和圆的公共点的个数仅有 $0,1,2$ 这三种情形．<br/>直线和圆有 $1$ 个公共点仅限于 $b^2=2(1+a^2)$，即 $a=1$，$b=2$ 的一种情形．于是有$$P\left( {X = 0} \right) = 1 - \dfrac{{19}}{{25}} = \dfrac{6}{{25}},P\left( {X = 1} \right) = \dfrac{1}{{25}},P\left( {X = 2} \right) = \dfrac{{19}}{{25}} - \dfrac{1}{{25}} = \dfrac{{18}}{{25}}.$$列表有$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline<br/>X& 0& 1 &2\\ \hline<br/>P&\dfrac{6}{{25}}&\dfrac{1}{{25}}&\dfrac{{18}}{{25}}\\ \hline \end{array}$$$$E\left( X \right) = 0 \cdot \dfrac{6}{{25}} + 1 \cdot \dfrac{1}{{25}} + 2 \cdot \dfrac{{18}}{{25}} = \dfrac{{37}}{{25}}.$$ 备注2