求证：$\forall n \in {\mathbb N^ * }$，${\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^n}$ 都能写成 $\sqrt m + \sqrt {m - 1} $（$m \in {\mathbb N^ * }$）的形式．（例如 ${\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2} = \sqrt 9 + \sqrt 8 $）．
【难度】
【出处】
2012年北京大学等十三校联考自主招生
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 ${\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^n} = p + q\sqrt 2,p,q\in\mathbb{Z} $，则$${\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^n} = p - q\sqrt 2 ,$$于是$${p^2} - 2{q^2} = {\left( { - 1} \right)^n}=(\sqrt{p^2}+\sqrt{2q^2})(\sqrt{p^2}-\sqrt{2q^2}),$$而 $\sqrt{2q^2}=\sqrt{p^2-(-1)^n}$，这就意味着 ${\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^n}$ 必可表示成 $\sqrt s + \sqrt {s - 1} $ 的形式．
答案
解析
备注
